根据勾股定理得,AC=BD=5,所以PA+PB+PC+PD的最小值为10,故①正确; ②若△PAB≌△PCD,则PA=PC,PB=PD,所以P在线段AC、BD的垂直平分线上,即P是矩形ABCD两对角线的交点,所以△PAD≌△PBC,故②正确; ③若S1=S2,易证S1+S3=S2+S4,则S3=S4,故③正确;
④若△PAB~△PDA,则∠PAB=∠PDA,∠PAB+∠PAD=∠PDA+∠PAD=90°,∠APD=180°﹣(∠PDA+∠PAD)=90°,同理可得∠APB=90°,那么∠BPD=180°,B、P、D三点共线,P是直角△BAD斜边上的高,根据面积公式可得PA=2.4,故④正确. 故答案为①②③④.
三、解答题(每小题8分,满分16分) 15.(8分)解不等式:【解答】解:
≥1﹣
≥,
.
去分母得:2(2x﹣1)≥6﹣3(5﹣x), 去括号得:4x﹣2≥6﹣15+3x, 移项合并得:x≥﹣7.
16.(8分)观察下列关于自然数的等式: (1)1﹣=12×① (2)2﹣(3)3﹣…
根据上述规律解决下列问题: (1)写出第4个等式: 4﹣
= 42× ;
=22×② =32×③
(2)写出你猜想的第n个等式(用含n的式子表示),并证明其正确性.
【解答】解:(1)根据题意,第4个等式为4﹣故答案为:4﹣
(2)第n个等式为n﹣左边=
=
=n2?
=n2×
,
,42×;
=42×,
=右边,
∴第n个等式成立.
四、解答题(每小题8分,满分16分)
17.(8分)如图,在9×8的正方形的网格中,△ABC的三个顶点和点O都在格点上.
(1)画出△ABC关于直线l成轴对称△A1B1C;
(2)将△ABC以点A为旋转中心逆时针旋转90°,画出旋转后的△AB2C2.
【解答】解:(1)如图所示,△A1B1C即为所求; (2)如图所示,△AB2C2即为所求.
18.(8分)某品牌羽绒服按成本提高50%作为标价,由于换季,商家决定降价销售,促销措施为:买一件以八折(标价的80%)出售,买两件或两件以上七折(标价的70%)出售.已知顾客买一件商家能获利28元,若顾客同时买两件,商家每件还能获利多少元?
【解答】解:设该品牌羽绒服的成本价为x元, 根据题意得:80%×(1+50%)x﹣x=28, 解得:x=140,
∴140×(1+50%)×70%﹣140=7(元).
答:若顾客同时买两件,商家每件还能获利7元.
五、(每小题10分,满分20分)
19.(10分)2017年初,合肥市积极推进共享单车服务(如图1),努力创造绿色环保出行,图2是某品牌单车的车架示意图,其中ED=40cm,∠DEF=60°,∠F=45°,求传动轮轴心E到后轮轴心F的距离EF的长.(结果精确到1cm,参考数据:≈1.41,
≈1.73)
【解答】解:如图2中,作DH⊥EF于H. 在Rt△EDH中,∵sin∠DEH=
,
∴DH=DE×sin40°=40×∵cos∠DEH=
,
=20cm,
∴EH=DE×cos60°=40×=20cm, 在Rt△DHF中,∵∠F=45°, ∴HF=DH=20
cm,
≈55cm,
∴EF=EH+HF=20+20
∴传动轮轴心E到后轮轴心F的距离EF的长约为55cm.
20.(10分)如图,矩形ABCD中,AD=5,AB=10,分别以AD、BC为斜边向矩形外作Rt△ADF≌Rt△CBE,延长FA、EB交于点G. (1)求证:△ADF∽△BAG;
(2)若DF=4,请连接EF并求出EF的长.
【解答】解:(1)∵四边形ABCD为矩形, ∴∠DAB=90°,即∠DAF+∠BAG=90°, 又∵∠DAF+∠ADF=90°, ∴∠ADF=∠BAG, 同理∠ECB=∠GBA, ∵△ADF≌△CBE, ∴∠ECB=∠DAF, ∴∠DAF=∠GBA, ∵在△ADF和△BAG中,
,
∴△ADF∽△BAG; (2)连接EF,如图,
∵在Rt△ADF中,AD=5,DF=4,∴AF=∵△ADF∽△BAG, ∴
=
=
,∠AGB=∠AFD=90°,
=3,
∴AG=8,BG=6,
∴FG=AF+AG=11,EG=EB+BG=DF+BG=4+6=10, ∴在Rt△EFG中,EF=
六、(本题满分12分)
21.2016年合肥市初中生学业质量绿色指标综合评价在合肥12个县(12分)(市)、区312所学校进行,某校八年级根据比例被随机抽取了40名学生参与了语文、数学、英语、科学等四个科目的测试,根据这40位同学的数学成绩,绘制了如下条形统计图.
(1)结合以上信息完成下表: 平均成绩(分) 86.85 中位数(分) 90 众数(分) 90 =
.
(2)根据评价标准,96分以上(含96分)可评为优秀,该校八年级共有学生500名若全部参加测试,估计有多少学生的成绩能达到优秀?
(3)张明同学的数学成绩为88分,他认为自己成绩超过平均分,排名应该处于中上等水平,这种说法对吗?为什么?