第 一 讲 小 升 初· 竞 赛 中 的 分 数 问 题
知
识 导 航
在分数式的计算应用问题中，主要包括以下几个方面的题型。
①和(差)倍问题。具体表现为“已知分数的分子与分母的和(差)，和约分过后的结果，求原分数。
②变化类。具体表现为“已知分数的分子与分母和(差)的关系，再告诉分子或分母变化后的结果，求原分数。”
③因数分解类。具体表现为“已知最简真分数的分子与分母的积，求原分数的可能值。” ④中间分数计算类。具体表现为“已知某分数在两个分数之间，求该分数的分子与分母的和的最小值。”
……
精 典 例 题
3
例1：一个分数约分后是 ，若约分前分子与分母的和是40，那么约分前的分数是多少?
7
思
路 点 拨
3
想一想：约分后是7 ，你可以想到什么你有几种方法来解答这个问题(友情提示：从方程与算术两个角度来思考。)
模 仿 练 习
3
一个分数的分子与分母和是40，约分后是 ,那么这个分数原来是多少
5
1
例2：一个分数的分子与分母的和是19，加上这个分数的分数单位就是 ,这个分数是多少（2006
4年成都外国语学校奖学金考试数学试题）3/16
思
路 点 拨
想一想：加上这个分数的分数单位实际是分数中谁发生了变化想明白后，再结合例1方法来思考一下，相信你能自己解答的！
模 仿 练 习
1
一个分数的分子与分母之和是37，若分子减去1，分数值是 ,原分数是多少(2007年成都外国
2语学校小语种数学试卷)
例3：分子、分母相乘的积是2002的最简真分数共有多少个(2005年成都七中育才东区衔接班招生考试题)
思 路 点 拨
想一想：满足什么条件的分数才是最简真分数再想一想对“分子、分母相乘的积是2002”的信息又应该怎样去理解
模 仿 练 习
一个最简真分数，分子与分母的积是24，这个真分数是多少(成都外国语学校2011年“德瑞杯”知识竞赛数学试题)
学
以 致 用
A级
2
1.一个分数分子与分母的和是72，约分后是 ，这个原分数是多少(2005年成都七中育才东区
7衔接班招生考试题)
7
2.将分数 的分子增加77后，如果要求分数的大小不变，分母应变为多少(2010年成都七中
11嘉祥外国语学校6年级衔接班试题2)
3.一个分数，分子、分母的和是2010，约成最简分数后是校2011年5升6招生数学试题）
7
,这个分数是多少（嘉祥外国语学60
B级
1
4.某分数分子分母的和为23，若分母增加17，此分数值为 ，原分数为多少（成都实验外国
4语学校“德瑞教育发展基金会”2010年奖学金测试数学A卷） 5.分子与分母的乘积是156的最简真分数有多少个（2008年成都嘉祥外国语衔接班招生考试题2）
5
6. 一个分数，分子与分母的和是75，若分子加上3，则可约简成 ,原来的分数是多少? （2007
8年成都七中育才东区衔接班招生考试题2）
C级
3n4
7.m,n为自然数，若 ＜ ＜ ，则m+n的最小值是多少（2007年成都七中育才东区衔接班招
4m5生考试题2）
第 二 讲 分 数 计 算 中 的 拆 分
知 识 导 航
分数计算中的拆分，又叫裂项计算。分裂项差与裂项和两类。 最常见的为裂项为分数单位差。 裂项差基本知识点为：裂项和基本知识点为：
xx?11??????(注：a小于b，a、b都为非零自然数。) a?bb?a?ab?a?b11??(a、b都为非零自然数。) a?bab聪明的你能说出其中的道理吗 试试看！
本讲主要讲裂项差知识。
精
典 例 题
例1：把下 面 的 和 表 示 为 一 个 既 约 分 数：（注：分子、分母只有公因数1的分数叫做最简分数或者说分子和分母是互质数的分数，叫做最简分数，又称既约分数。）
11111(美 国 长 岛 小 学 数 学 竞 赛 第 三 次 第 4题) ????1?22?33?44?55?6 思
路 点 拨 仿 练 习
仔细观察，每一项中的分母的因数差是几，与分子有什么样的关系那么可以怎样计算。
模
11111(南 京市第一届“兴趣杯”少年数学邀请赛决赛C卷???????1?22?33?419?2020?21第5题)
例2：
11111????(第三届“华杯赛”决赛第一试试题) 315356399 思路点拨
x吗很显然不满足，那么仔细观察每一项的分母，根据分母的特点，有没有a?bx方法把这道题的每一项都转化成“”的形式！相信你会有办法的！
a?b想一想：现在这种形式满足 模仿练习
11111??????（第三届《小数报》数学竞赛） 1?44?77?1010?1397?10023410?????1?（1?2）（1?2）?（1?2?3）（1?2?3）（1?2?3?4）（1?2?3???9）?（1?2?3???10）1?例3：
(1989年小学数学奥林匹克竞赛初赛试题·成都实验外国语学校“德瑞教育发展基金会”2010年