(3)若随机挑选一人,此人不是色盲,问他是男人的概率多大? 解:设B“色盲患者”,A“随机挑选一人是男人”,由题设知:
11P(A)?,P(A)?,P(B|A)?5%,P(B|A)?0.25%,则
22(1)由全概率公式得,随机挑选一人是色盲的概率为:
P(B)?P(A)P(B|A)?P(A)P(B|A) ?11?5%??0.25%?0.02625; 22(2)由贝叶斯公式得,随机选一人是色盲,他是男人的概率为:
1?5%P(AB)P(A)P(B|A)2P(A|B)????0.952; P(B)P(B)0.02625(3)由贝叶斯公式得,随机选一人不是色盲,他是男人的概率为:
1?95%P(AB)P(A)P(B|A)2P(A|B)????0.4878.
1?P(B)0.97375P(B)10.现有10张考签,其中4张是难签,甲、乙、丙三人抽签考试(取后不放回),甲先乙次丙最后,求下列事件的概率:
(1)甲乙都抽到难签;
(2)甲没有抽到难签,而乙抽到难签; (3)甲乙丙都抽到难签;
(4)证明:甲乙丙抽到难签的机会均等.
解:设A,B,C分别表示“甲、乙、丙抽到难签”,则
(1)甲乙都抽到难签的概率为:P(AB)?P(A)P(B|A)?(2)甲没有抽到难签,而乙抽到难签的概率为:
P(AB)?P(A)P(B|A)?644??; 10915432??; 10915(3)甲乙丙都抽到难签的概率为:
4321???; 1098304?0.4. (4)由古典概率知,甲抽到难签的概率为:P(A)?10P(ABC)?P(A)P(B|A)P(C|AB)?
9
由全概率公式得,乙抽到难签的概率为:
P(B)?P(A)P(B|A)?P(A)P(B|A)?4364????0.4. 109109丙抽到难签的概率为:
P(C)?P(AB)P(C|AB)?P(AB)P(C|AB)?P(AB)P(C|AB)?P(AB)P(C|AB) ?432643463654???????????=0.4. 1098109810981098得,P(A)=P(B)=P(C)=0.4,所以,甲乙丙抽到难签的机会均等,各占40%.
11.三个人向同一敌机射击,设三人命中飞机的概率分别为0.4,0.5和0.7.若三人中只有一人击中,飞机被击落的概率为0.2;若有两人击中,飞机被击落的概率为0.6;若三人都击中,则飞机必被击落.求飞机被击落的概率.
解:设Ai表示“三人中恰有i人击中飞机”,i=0,1,2,3.B“飞机被击落”. A0, A1, A2, A3构成完备事件组,且
P(A0)?(1?0.4)?(1?0.5)(1?0.7)?0.09,
P(A1)?0.4?(1?0.5)?(1?0.7)?(1?0.4)?0.5?(1?0.7)?(1?0.4)?(1?0.5)?0.7?0.36, P(A2)?0.4?0.5?(1?0.7)?0.4?(1?0.5)?0.7?(1?0.4)?0.5?0.7?0.41, P(A3)?0.4?0.5?0.7?0.14.
由题设知:P(B|A0)?0,P(B|A1)?0.2,P(B|A2)?0.6,P(B|A3)?1. 故,由全概率公式得,飞机被击落的概率为:
P(B)?P(A0)P(B|A0)?P(A1)P(B|A1)?P(A2)P(B|A2)?P(A3)P(B|A3)
?0.09?0?0.36?0.2?0.41?0.6?0.14?1?0.458.
12.在上题中,假设三人的射击水平相当,命中率都是0.6,其他条件不变,再求飞机被击落的概率.
解:设Ai表示“三人中恰有i人击中飞机”,i=0,1,2,3.B“飞机被击落”. A0, A1, A2, A3构成完备事件组,且由贝努里公式得:
01P(A0)?C3?0.60?0.43?0.064,P(A1)?C3?0.6?0.42?0.288, 23P(A2)?C3?0.62?0.4?0.432,P(A3)?C3?0.63?0.216.
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由题设知:P(B|A0)?0,P(B|A1)?0.2,P(B|A2)?0.6,P(B|A3)?1. 故由全概率公式得,飞机被击落的概率为:
P(B)??P(Ai)P(B|Ai)
i?03?0.064?0?0.288?0.2?0.432?0.6?0.216?1?0.5328
13.已知一批产品中有95%是合格品,检查产品质量时,一个合格品被误判为次品的概率为0.02,一个次品被误判为合格品的概率为0.03,求:
(1)任意抽查一个产品,它被判为合格品的概率;
(2)一个经检查被判为合格的产品,它确实是合格品的概率.
解:设A“产品是合格品”,B“经检查产品被判为合格品”,且由题意知:P(A)=95%, P(A)?1?95%?5%,P(B|A)?1?0.02?0.98,P(B|A)?0.03.则
(1)由全概率公式得,任意抽查一个产品,它被判为合格品的概率为:
P(B)?P(A)P(B|A)?P(A)P(B|A) ?95%?0.98?5%?0.03?0.9325;
(2)由贝叶斯公式得,一个经检查被判为合格的产品,它确实是合格品的概率为:
P(A|B)?P(AB)0.95?0.98??0.9984. P(B)0.932514.一个工人看管三台机床,在一小时内机床不需要工人看管的概率第一台为0.9,第二台为0.8,第三台为0.7,且三台机床是否需要看管彼此独立.求在一小时内三台机床中最多有一台需要工人看管的概率.
解:设Ai“第i台机床需要看管”,i=1,2,3. “三台机床中最多有一台需要工人看管”表示为A1A2A3?A1A2A3?A1A2A3?A1A2A3,且这4个事件两两互不相容,由加法与独立性知,所求的概率为:
P(A1A2A3?A1A2A3?A1A2A3?A1A2A3)
11
?P(A1A2A3)?P(A1A2A3)?P(A1A2A3)?P(A1A2A3)
?P(A1)P(A2)P(A3)?P(A1)P(A2)P(A3)?P(A1)P(A2)P(A3)?P(A1)P(A2)P(A3)
?0.1?0.8?0.7?0.9?0.2?0.7?0.9?0.8?0.3?0.9?0.8?0.7?0.902
15.加工某一零件共需经过三道工序,设第一、第二、第三道工序的次品率分别是2%,3%,5%.假定各道工序是互不影响的,问加工出来的零件的次品率是多少?
解:设Ai“第i道工序加工出次品”,i=1,2,3.则加工出来的零件是次品表示为A1+A2+A3,且A1,A2,A3相互独立,从而A1,A2,A3也相互独立. 所求概率为:
P(A1+A2+A3)?1?P(A1A2A3)?1?P(A1)P(A2)P(A3)
?1?(1?2%)(1?3%)(1?5%)?0.09693.
16.甲、乙、丙三人独立地破译一密码,他们各自能破译出的概率分别是0.4,0.6,0.7,求此密码被破译的概率.
解:设A,B,C分别表示“甲、乙、丙破译出密码”,则A+B+C表示“密码被破译”,且A,B,C相互独立,从而A,B,C也相互独立,故所求概率为:
P(A+B+C)?1?P(ABC)?1?P(A)P(B)P(C) ?1?(1?0.4)(1?0.6)(1?0.7)?0.928.
17.有甲、乙两批种子,发芽率分别为0.8和0.7,各在两批中随机取一粒,求: (1)两粒种子都能发芽的概率; (2)至多有一粒种子能发芽的概率; (3)至少有一粒种子能发芽的概率.
解:设A,B分别表示“甲、乙种子发芽”,由题设知:
P(A)?0.8,P(B)?0.7,P(A)?1?0.8?0.2,P(B)?1?0.7?0.3.
(1)两粒种子都能发芽的概率为:P(AB)?P(A)P(B)?0.8?0.7?0.56; (2)至多有一粒种子能发芽的概率为:
P(AB?AB?AB)?P(AB)?P(AB)?P(AB)
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