两边对y求导：fY(y)?FX?(y?1y?11y?1)?()??fX()， 2222?1??y2y?1e,?0??y?1?y?1??22又因为fX()????e,y??1，所以，Y的概率密度为：

2y?1?0,?0,y??1?0???2?1?1?y2?e,y??1. fY(y)??2?0,y??1?

四、应用题

1.一批零件中有10个合格品和2个废品，安装机器时，从这批零件中任取一个，如果每次取出废品后不再放回，用X表示在取得合格品以前已取出的废品的个数，求：(1)随机变量X的分布律；(2)随机变量X的分布函数.

解：(1)随机变量X的可能取值为0，1，2，且

P(X?0)?105211012105?，P(X?1)???，P(X?2)????， 12612111066121133得到X的分布律为：

X P 0 1 2 551 63366(2)X的可能取值0，1，2将分布函数F(x)的定义域(??,??)分为四部分： 当x?0时，F(x)?P(X?x)?0， 当0?x?1时，F(x)?P(X?x)?P(X?0)?5， 665， 66当1?x?2时，F(x)?P(X?x)?P(X?0)?P(X?1)?当2?x时，F(x)?P(X?x)?P(X?0)?P(X?1)?P(X?2)?1. 从而得到X的分布函数为：

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?0,x?0?5?,0?x?1?6F(x)??.

?65,1?x?2?66?1,x?2?

2.袋中有标号为1，2，2，3，3，3的六个球，从中任取一个球，求所取出的球的号码X的概率分布及分布函数.

.解：X的可能取值为1，2，3.且

P(X?1)?12131，P(X?2)??，P(X?3)??， 66362所以，X的概率分布为：

X P 1 2 3 111 632当x?1时，F(x)?P(X?x)?0， 当1?x?2时，F(x)?P(X?x)?P(X?1)?1， 61， 2当2?x?3时，F(x)?P(X?x)?P(X?1)?P(X?2)?当x?3时，F(x)?P(X?x)?P(X?1)?P(X?2)?P(X?3)?1. 从而得到X的分布函数为：

?0,x?1?1?,1?x?2?6F(x)??

?1,2?x?3?2?1,x?3?

3. 袋中有标号为1，2，2，3，3，3的六个球，从中任取两个球，X表示取出的两个球的最大号码，求X的概率分布.

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.解：X的所有可能的取值为2，3.且

11112C3C3?C324C1C2?C21P(X?2)??，P(X?3)??， 22C65C65从而得到X的概率分布为：

4.设一批产品共1000个，其中40个是次品，随机抽取100个样品，按下列两种方式抽样，分别求样品中次品数X的概率分布.

(1)不放回抽样； (2)有放回抽样.

解：(1)不放回抽样，X的可能取值为0，1，2，…，40.{X=k}表示100个样品

k100?kC40C1000?40中恰好有k个次品，则P(X?k)?，得到X的概率分布为： 100C1000X P 2 3 14 55k100?kC40C960P(X?k)?,k?0,1,2,...,40. 100C1000(2)有放回抽样，X的可能取值为0，1，2，…，100.由于有放回抽样，抽取100个样品可看作进行了100重贝努里试验，且每次抽到次品的概率都是0.04，抽到正品的概率为0.96，X~B(100,0.04).则X的概率分布为：

kP(X?k)?C1000.04k0.96100?k,k?0,1,2,...,100.

15.抛掷一枚质地不均匀的硬币，每次正面出现的概率为，连续抛掷10次，

3以X表示正面出现的次数，求X的分布律.

1由题设知，X~B(10，). 则X的分布律为：

3k1k210?kP(X?k)?C10()(),k?0,1,2,...,10.

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6.有一繁忙的交通路口，每天有大量的汽车经过，设每辆汽车在一天的某段

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时间内出事故的概率为0.0001.在某天的该段时间内有1000辆汽车经过，问出事故的次数不小于2的概率.

解：设X表示1000辆汽车通过路口时出事故的次数，由题意知，

X~B(1000，0.0001).由于n=1000很大，p=0.0001很小，故利用泊松分布近似代替二项分布计算.

0.1k?0.1e,k?0,1,2,...， 其中，??np?1000?0.0001?0.1，P(X?k)?k!查泊松分布表可得，所求概率为：

7.以电话交换台每分钟收到的呼唤次数服从参数为4的泊松分布，求： (1)每分钟恰有4次呼唤的概率； (2)每分钟的呼唤次数至少有4次的概率.

解：设X表示电话交换台每分钟收到的呼唤次数，由题意知，X~P(4)，其分布律为：

4k?4P(X?k)?e,k?0,1,2...，则

k!44?4(1)每分钟恰有4次呼唤的概率P(X?4)?e?0.195367；

4!4k?4(2)每分钟的呼唤次数至少有4次的概率P(X?4)??e?0.56653

k?4k!?

8.袋中装有8个球，其中3个红球、5个白球，现从袋中任取3个球，求取出红球数的概率分布.

解：X表示取出3个球中含有红球的个数，则X的可能取值为0，1，2，3. 且

312C5C3C515，P(X?1)?35?， P(X?0)?3?C828C82813C32C5C3151P(X?2)?3?，P(X?3)?3?，

C856C856 28