进行编号，依次为第一种飞轮、第二种飞轮、第三种飞轮，它们对应的厚度分别为=0.0392

，

=0.0784

，

=0.1568

。

4.2.2 模型的建立

根据问题二的分析，分以下步骤完成此问： 首先，根据微分思想，首先在圆筒上取质量为

，其值为：

其次，

由圆柱体的体积为

可以得到体积的微分表示：

第三，

因为环形钢制飞轮可以看做是质量均匀的刚体，且质量呈体分布，所以环形钢制飞轮的转动惯量计算公式为：

根据

上面三个公式可以推导出环形钢制飞轮的转动惯量的计算公式，为：

根据公式可以算出三个飞轮的转动惯量，关于它们的机械惯量组合及其补偿惯量将在模型二的求解中给出。

4.3 模型三：由能量守恒计算驱动电流模型 4.3.1 对问题三的分析

根据文中第三段描述，画出制动器、转轴、电动机和小飞轮如何连接的简易示意图，如下图所示：

图2 制动器试验台工作示意图

若机械惯量小于转动惯量，制动时飞轮组会迅速停下，而不能真实的模拟实际情况。但又若机械惯量太大，制动时飞轮组久久不会停下，也不能真实的模拟实际情况。因此如何使用电动机适时的加以补偿电流，增大飞轮组的转动动能是需要解决的问题。

由于实际问题要复杂的多，不考虑摩擦与风速等其它因素对能量的损失。那么，在制动开始到制动结束，任意时刻的能量都是守恒的，则根据能量守恒定律可知，制动器产生的能量=飞轮组的减少的能量+电动机对飞轮组的补偿能量，据此建立了模型三。

4.3.2 模型的建立

根据对问题三的分析，利用物理即工程上常用的转动惯量的知识进行本模型的建立，根据大学物理书所给的定理知，影响转动惯量的主要因素有质量分布、转轴位置和半径。根据已学的物理知识，结合在本系统中，在问题一和问题二的基础上，主要考虑机械惯量和电动机的补偿惯量，可以建立如下的模型：

首先，根据文中第三段提示，不妨假设机械惯量小于等效的转动惯量，由此，根据能量守恒定律，可以得到：制动机产生的能量=飞轮组减少的能量+电动机补偿能量，设飞轮组在初始时刻的角速度为，经过时间后的角速度为制动机产生阻碍飞轮组转动的能量为：

，那么，

其中，为制动机产生的能量，为等效的转动惯量。 飞轮组减少的能量为：

其中，

为飞轮组减少的能量，

为机械惯量。

对于电动机产生的补偿能量，为其功率对时间的积分，又其瞬时功率为：

其中，

表示电动机的驱动电流产生的扭矩，即电扭矩，

表示电动机在时刻

为：

的输出功率，那么，从零时刻到任意时刻，电动机产生的补偿能量

由能量守恒定律，即

可得：

第二

步，为解出驱动电流，可以根据文中第四段所给的信息：一般情况下，电动机的驱动电流与其产生的扭矩成正比，由此可设：

其中，

表示在0~5秒之间的驱动电流，为比例系数且=1.5

。

第三步，根据以上两个步骤可知，要想求出电动机的驱动电流，必须先求出电扭矩的表达式，由此根据公式得：

的关系求出电扭矩

，即对

式两边同时求导，

进一步进行演算可以得到电扭矩

的表达式：

由此，结合

式可以得到驱动电流可以表示成：

根据以上三个步骤，结合针对问题一和问题二所求得的解，可以求出本模型的驱动电流，具体求解见模型的求解5.3。

4.4 模型四：评价模型 4.4.1 对问题四的分析

附表给出了某种控制方法试验得到的数据，要对该控制方法的优劣进行评价，而评价控制方法优劣的一个重要指标是能量误差的大小，在物理学中，评价能量损失的

大小有绝对误差和相对误差，为了更准确地说明问题，选取相对误差来评价该控制方法的优劣。本题中不考虑观测误差、随机误差和连续问题离散化所差生的误差。 从表中可以看出，数据是以0.01s为分割，共有476段。那么每一小段的功率（）为其转速（）与扭矩（）的乘积，为显示功率随时间的变化，使用画出其变化趋势如下图所示：

160001400012000功率随时间的变化趋势Power:w10000800060004000200000.511.522.5time:ms33.544.55

图3 功率随时间的变化图

由于数据比较密集，因此进一步使用的放大工具，可以看出数据波动是比较大的。放大后的图像如下（局部放大）：