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(??3?,??3?)之外的概率为0.0026，故X~B(16,0.0026)，因此
P(X?1)?1?P(X?0)?1?0.997416?0.0408
X的数学期望为EX?16?0.0026?0.0416
（2）（i）如果生产状态正常，一个零件尺寸在(??3?,??3?)之外的概率只有0.0026，
一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在(??3?,??3?)之外的零件的概率只有0.0408，发生的概率很小。因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的。
??9.97,?的估计值为???0.212，（ii）由x?9.97,s?0.212，得?的估计值为???3??,???3??)之外，因此需对当天由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在(?的生产过程进行检查。
??3??,???3??)之外的数据9.22，剩下数据的平均数为 剔除(?1(16?9.97?9.22)?10.02 15因此?的估计值为10.02
16?xi?12i?16?0.2122?16?9.972?1591.134
??3??,???3??)之外的数据9.22，剩下数据的样本方差为 剔除(?1(1591.134?9.222?15?10.022)?0.008 15因此?的估计值为0.008?0.09
20.（12分）解：
（1）由于P3,P4两点关于y轴对称，故由题设知C经过P3,P4两点
又由
1113知，C不经过点P1，所以点P2在C上 ???a2b2a24b2?1?1,22???b?a?4因此?解得?2
??1?3?1?b?1??a24b2x2?y2?1 故C的方程为4（2）设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1,k2
如果l与x轴垂直，设l:x?t，由题设知t?0，且|t|?2，可得A,B的坐标分别为
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4?t24?t2(t,),(t,?)
22则k1?k2?4?t2?24?t2?2???1，得t?2，不符合题设
2t2tx2?y2?1得 从而可设l:y?kx?m(m?1)，将y?kx?m代入4(4k2?1)x2?8kmx?4m2?4?0
由题设可知??16(4k?m?1)?0
228km4m2?4,x1x2?设A(x1,y1),B(x2,y2)，则x1?x2??2 24k?14k?1而 k1?k2?y1?1y2?1? x1x2kx1?m?1kx2?m?1? x1x22kx1x2?(m?1)(x1?x2)
x1x2??由题设k1?k2??1，故(2k?1)x1x2?(m?1)(x1?x2)?0
4m2?4?8km?(m?1)?0 即(2k?1)224k?14k?1解得k??m?1 2m?1x?m， 2当且仅当m??1时，??0，于是l:y??所以l过定点(2,?1) 21.（12分）解：
（1）f(x)的定义域为(??,??)，f?(x)?2ae2x?(a?2)ex?1?(aex?1)(2ex?1)
（i）若a?0，则f?(x)?0，所以f(x)在(??,??)单调递减 （ii）若a?0，则由f?(x)?0的x??lna
当x?(??,?lna)时，f?(x)?0； 当x?(?lna,??)时，f?(x)?0
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所以f(x)在(??,?lna)单调递减，在(?lna,??)单调递增。
（2）（i）若a?0，由（1）知，f(x)至多有一个零点
（ii）若a?0，由（1）知，当x??lna时，f(x)取得最小值，最小值为
1f(?lna)?1??lna
a① 当a?1时，由于f(?lna)?0，故f(x)只有一个零点； ② 当a?(1,??)时，由于1?点；
③ 当a?(0,1)时，1?又f(?2)?ae个零点。
设正整数n0满足n0?ln(?1)，
则f(n0)?e0(ae0?a?2)?n0?e0?n0?20?n0?0 由于ln(?1)??lna，因此f(x)在(?lna,??)有一个零点 综上，a的取值范围为(0,1)
22．解：
nnnn1?lna?0，即f(?lna)?0，故f(x)没有零a1?lna?0，即f(?lna)?0又 a?4?(a?2)e?2?2??2e?2?2?0，故f(x)在(??,?lna)有一
3a3ax2（1）曲线C的普通方程为?y2?1，
9当a??1时，直线l的普通方程为x?4y?3?0
21?x???x?4y?3?0,?x?3,???225由?x解得或 ??224?y?0?y???y?1?9?25?从而C与l的交点坐标为(3,0),(?2124,) 2525（2）直线l的普通方程为x?4y?a?4?0，故C上的点(3cos?,sin?)到l的距离为
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d?|3cos??4sin??a?4|
17当a??4时，d的最大值为a?9a?9?17，所以a?8； ，由题设得1717?a?1?a?1?17，所以a??16 ，由题设得1717当a??4时，d的最大值为综上，a?8或a??16 23．解：
（1）当a?1时，不等式f(x)?g(x)等价于
x2?x?|x?1|?|x?1|?4?0 ①
当x??1时，①式化为x?3x?4?0，无解；
当?1?x?1时，①式化为x?x?2?0，从而?1?x?1；
2当x?1时，①式化为x?x?4?0，从而1?x?22?1?17 2所以f(x)?g(x)的解集为{x|?1?x?（2）当x?[?1,1]时，g(x)?2
?1?17} 2所以f(x)?g(x)的解集包含[?1,1]，等价于当x?[?1,1]时f(x)?2
又f(x)在[?1,1]的最小值必为f(?1)与f(1)之一，所以f(?1)?2且f(1)?2，得
?1?a?1
所以a的取值范围为[?1,1]
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