110, 111, 101, 100)。设计分治算法对任意的n值构造相应的格雷码。
矩阵乘法。两个n×n的矩阵X和Y的乘积得到另外一个n×n的矩阵Z，且Zij
满足 （1≤i, j≤n），这个公式给出了运行时间为O(n)的算法。可以用分 治法解决矩阵乘法问题，将矩阵X和Y都划分成四个n/2×n/2的子块，从而X和Y的乘积可以用这些子块进行表达，即
从而得到分治算法：先递归地计算8个规模为n/2的矩阵乘积AE、BG、AF、BH、CE、DG、CF、DH，然后再花费O(n2)的时间完成加法运算即可。请设计分治算法实现矩阵乘法，并分析时间性能。能否再改进这个分治算法？
3
习题5
1. 下面这个折半查找算法正确吗？如果正确，请给出算法的正确性证明，如果不正确，请
说明产生错误的原因。
int BinSearch(int r[ ], int n, int k) {
int low = 0, high = n - 1; int mid;
while (low <= high) {
mid = (low + high) / 2; if (k < r[mid]) high = mid;
else if (k > r[mid]) low = mid;
else return mid; }
return 0; }
错误。 正确算法：
int BinSearch1(int r[ ], int n, int k) {
int low = 0, high = n - 1; int mid;
while (low <= high) {
mid = (low + high) / 2; if (k < r[mid]) high = mid - 1;
else if (k > r[mid]) low = mid + 1;
else return mid; }
return 0;
}
2. 请写出折半查找的递归算法，并分析时间性能。
求两个正整数m和n的最小公倍数。（提示：m和n的最小公倍数lcm(m, n)与m和n的最大公约数gcd(m, n)之间有如下关系：lcm(m, n)=m×n/gcd(m, n)）
插入法调整堆。已知（k1, k2, …, kn）是堆，设计算法将（k1, k2, …, kn, kn+1）调整为堆（假设调整为大根堆）。
参照：
void SiftHeap(int r[ ], int k, int n) {
int i, j, temp;
i = k; j = 2 * i + 1; 设计算法实现在大根堆中删除一个元素，要求算法的时间复杂性为O(log2n)。
计算两个正整数n和m的乘积有一个很有名的算法称
n m 为俄式乘法，其思想是利用了一个规模是n的解和一个规50 65 25 130 130 模是n/2的解之间的关系：n×m＝n/2×2m（当n是偶数）
12 260 或：n×m＝(n-1)/2×2m＋m（当n是奇数），并以1×m＝m6 520 作为算法结束的条件。例如，图给出了利用俄式乘法计算3 1040 1040 1 2080 2080 + 50×65的例子。据说十九世纪的俄国农夫使用该算法并因
3250 此得名，这个算法也使得乘法的硬件实现速度非常快，因
图 俄式乘法 为只使用移位就可以完成二进制数的折半和加倍。请设计算法实现俄式乘法。
拿子游戏。考虑下面这个游戏：桌子上有一堆火柴，游戏开始时共有n根火柴，两个玩家轮流拿走1，2，3或4根火柴，拿走最后一根火柴的玩家为获胜方。请为先走的玩家设计一个制胜的策略（如果该策略存在）。
如果桌上有小于4根的火柴，先手必胜，如果是5根，先手必输；依次类推，同理15、20、25…….都是必输状态；所有每次把对手逼到15、20、25…….等必输状态，就可以获胜。
9. 竞赛树是一棵完全二叉树，它反映了一系列“淘汰赛”的结果：叶子代表参加比赛的n个选手，每个内部结点代表由该结点的孩子结点所代表的选手中的胜者，显然，树的根结点就代表了淘汰赛的冠军。请回答下列问题：
（1）这一系列的淘汰赛中比赛的总场数是多少？
（2）设计一个高效的算法，它能够利用比赛中产生的信息确定亚军。
（1）因为n人进行淘汰赛，要淘汰n-1人，所有要进行n-1场比赛。
（2）
10. 在120枚外观相同的硬币中，有一枚是假币，并且已知假币与真币的重量不同，但不知道假币与真币相比较轻还是较重。可以通过一架天平来任意比较两组硬币，最坏情况下，能不能只比较5次就检测出这枚假币？
将120枚平均分为三组，记为：A，B，C；先将A,B比较，如果A,B重量不同（假如B比A重），再将B与C比较，如果B，C相同，则A有假币；如果B,C不同，再将A,C比较，如果A,C相同，则B有假币；如果A,C不同，则B有假币；如果A,B相同，则C有假币；
习题6
1. 动态规划法为什么都需要填表？如何设计表格的结构？
在填写表格过程中，不仅可以使问题更加清晰，更重要的是可以确定问题的存储结构； 设计表格，以自底向上的方式计算各个子问题的解并填表。
2. 对于图所示多段图，用动态规划法求从顶点0到顶点12的最短路径，写出求解过程。 1 6 3 8 1 7 3 3 3 5 6 5 10 4 4 5 5 8 2 0 12 3 5 3 8 3 11 3 7 9 8 2 6 6 6 4 图 第2题图
将该多段图分为四段；
首先求解初始子问题，可直接获得： d(0, 1)=c01＝5(0→1) d(0, 2)=c02＝3(0→1)
再求解下一个阶段的子问题，有： d(0,3)= d(0, 1)+ c13 =6(1→3)
d(0,4)=min{d(0,1)+ c14 ,d(0,2)+ c24}=8(1→4) 。。。。。。。。（以此类推）
最短路径为：0→1→3→8→11→12
3．用动态规划法求如下0/1背包问题的最优解：有5个物品，其重量分别为(3, 2, 1, 4,5)，价值分别为(25, 20, 15, 40, 50)，背包容量为6。写出求解过程。
(x1, x2,x3,x4,x5) →(1,1,1,0,0)(过程略)
4. 用动态规划法求两个字符串A=\xzyzzyx\和B=\zxyyzxz\的最长公共子序列。写出求解过程。 略
5. 给定模式\和文本\，写出动态规划法求解K-近似匹配的过程。 略
6. 对于最优二叉查找树的动态规划算法，设计一个线性时间算法，从二维表R中生成最优二叉查找树。
7. Ackermann函数A(m, n)的递归定义如下：
n?1??A(m,n)??A(m?1,1)?A(m?1,A(m,n?1))?m?0m?0,n?0 m?0,n?0设计动态规划算法计算A(m, n)，要求算法的空间复杂性为O(m)。
考虑下面的货币兑付问题：在面值为(v1, v2, …, vn)的n种货币中，需要支付y值的货币，应如何支付才能使货币支付的张数最少，即满足
?xvi?1nii?y，且使?xi最小（xi是
i?1n非负整数）。设计动态规划算法求解货币兑付问题，并分析时间性能和空间性能。
#include
int a[N][M]; int value[M];
using namespace std;
int main() {
while(true) {
int i,j,k; int x,y,z;
cout<<\输入货币种类的个数：\ cin>>x;
cout<<\从小到大输入货币的价值，其中第一个必须为一：\
for(i=1;i<=x;i++)//x为货币种类的个数 {
cout<<\ cin>>y; value[i]=y; }
cout<<\输入要兑换的钱的价值：\ cin>>z;//z为钱 for(j=0;j<=z;j++) a[j][0]=0;
for(k=0;k<=x;k++) a[0][k]=0;
for(i=1;i<=z;i++) {
for(j=1;j<=x;j++) {
if(value[j]==i) a[i][j]=1;
else if(value[j]>i) a[i][j]=a[i][j-1]; else
a[i][j]=a[i-value[j]][j]+1;//相当于把乘法换成加法，即碰到一
个钱数于兑换货币自身价值时，返回到
钱数减去该货币值的地方，其值再加1// }//for }
cout<<\兑换的最小货币个数是：\
}//while
return 0; }