关于全等三角形的旋转难题 下载本文

.

旋转

已知,如图,三角形ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°,F是AB的中点,直线l经过点C,分别过点A、B作l的垂线,即AD⊥CE,BE⊥CE,

(1)如图1,当CE位于点F的右侧时,求证:△ADC≌△CEB; (2)如图2,当CE位于点F的左侧时,求证:ED=BE-AD;

(3)如图3,当CE在△ABC的外部时,试猜想ED、AD、BE之间的数量关系,并证明你的猜想.

考点:全等三角形的判定与性质.专题:证明题;探究型.分析:(1)利用同角的余角相等得出∠CAD=∠BCE,进而根据AAS证明△ADC≌△CEB.

(2)根据AAS证明△ADC≌△CEB后,得其对应边相等,进而得到ED=BE-AD.

(3)根据AAS证明△ADC≌△CEB后,得DC=BE,AD=CE,又有ED=CE+DC,进而得到ED=AD+BE.解答:(1)证明:∵AD⊥CE,BE⊥CE, ∴∠ADC=∠CEB=90°.

∵∠ACD+∠ECB=90°,∠CAD+∠ACD=90°, ∴∠CAD=∠BCE(同角的余角相等). 在△ADC与△CEB中

∠ADC=∠CEB ∠CAD=∠BCE AC=BC , ∴△ADC≌△CEB(AAS).

(2)证明:∵AD⊥CE,BE⊥CE, ∴∠ADC=∠CEB=90°.

∵∠ACD+∠ECB=90°,∠CAD+∠ACD=90°, ∴∠CAD=∠BCE(同角的余角相等). 在△ADC与△CEB中

∠ADC=∠CEB ∠CAD=∠BCE AC=BC , ∴△ADC≌△CEB(AAS). ∴DC=BE,AD=CE. 又∵ED=CD-CE, ∴ED=BE-AD.

(3)ED=AD+BE.

证明:∵AD⊥CE,BE⊥CE, ∴∠ADC=∠CEB=90°.

∵∠ACD+∠ECB=90°,∠CAD+∠ACD=90°, ∴∠CAD=∠BCE(同角的余角相等). 在△ADC与△CEB中

∠ADC=∠CEB ∠CAD=∠BCE AC=BC , ∴△ADC≌△CEB(AAS). ∴DC=BE,AD=CE. 又∵ED=CE+DC,

∴ED=AD+BE.点评:本题考查了全等三角形的判定和性质;利用全等三角形的对应边相等进行等量交换,证明线段

.

.

之间的数量关系,这是一种很重要的方法,注意掌握

3.如图1、图2、图3,△AOB,△COD均是等腰直角三角形,∠AOB=∠COD=90o, (1)在图1中,AC与BD相等吗,有怎样的位置关系?请说明理由。

(2)若△COD绕点O顺时针旋转一定角度后,到达图2的位置,请问AC与BD还相等吗,还具有那种位置关系吗?为什么? (3)若△COD绕点O顺时针旋转一定角度后,到达图3的位置,请问AC与BD还相等吗?还具有上问中的位置关系吗?为什么?

考点:旋转的性质;全等三角形的判定与性质;等腰直角三角形.分析:(1)根据等腰三角形的两腰相等进行解答. (2)证明△DOB≌△COA,根据全等三角形的对应边相等进行说明.解答:解:(1)相等. 在图1中,∵△AOB,△COD均是等腰直角三角形,∠AOB=∠COD=90°, ∴OA=OB,OC=OD, ∴0A-0C=0B-OD, ∴AC=BD; (2)相等.

在图2中,0D=OC,∠DOB=∠COA,OB=OA, ∴△DOB≌△COA,

∴BD=AC.点评:本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的性质以及旋转问题,在旋转的过程中要注意哪些量是不变的,找出图形中的对应边与对应角.

4.(2008河南).(9分)复习“全等三角形”的知识时,老师布置了一道作业题:“如图①,已知在△ABC中,AB=AC,

P是△ABC内部任意一点,将AP绕A顺时针旋转至AQ,使∠QAP=∠BAC,连接BQ、CP,则BQ=CP.”

小亮是个爱动脑筋的同学,他通过对图①的分析,证明了△ABQ≌△ACP,从而证得BQ=CP之后,将点P移到等腰三角形ABC之外,原题中的条件不变,发现“BQ=CP”仍然成立,请你就图②给出证明.

考点:全等三角形的判定与性质;等腰三角形的性质.专题:证明题;探究型.分析:此题的两个小题思路是一致的;已知∠QAP=∠BAC,那么这两个等角同时减去同一个角(2题是加上同一个角),来证得∠QAB=∠PAC;而根据旋转的性质知:AP=AQ,且已知AB=AC,即可由SAS证得△ABQ≌△ACP,进而得出BQ=CP的结论.解答:证明:(1)∵∠QAP=∠BAC, ∴∠QAP-∠BAP=∠BAC-∠BAP,

.

.

即∠QAB=∠CAP; 在△BQA和△CPA中,

AQ=AP ∠QAB=∠CAP AB=AC , ∴△BQA≌△CPA(SAS); ∴BQ=CP.

(2)BQ=CP仍然成立,理由如下: ∵∠QAP=∠BAC,

∴∠QAP+∠PAB=∠BAC+∠PAB, 即∠QAB=∠PAC; 在△QAB和△PAC中,

AQ=AP ∠QAB=∠PAC AB=AC , ∴△QAB≌△PAC(SAS),

∴BQ=CP.点评:此题主要考查了等腰三角形的性质以及全等三角形的判定和性质;选择并利用三角形全等是正确解答本题的关键.

5.(2009山西太原)将一张透明的平行四边形胶片沿对角线剪开,得到图①中的两张三角形胶片△ABC和

△DEF.且△ABC≌△DEF。将这两张三角形胶片的顶点B与顶点E重合,把△DEF绕点B顺时针方向旋

转,这时AC与DF相交于点O.

①当△DEF旋转至如图②位置,点B(E),C,D在同一直线上时,?AFD与?DCA的数量关系是 . ②当△DEF继续旋转至如图③位置时,(1)中的结论还成立吗?AO与DO存在怎样的数量关系?请说明理由.

点:旋转的性质;全等三角形的判定与性质.专题:探究型.分析:(1)根据外角的性质,得∠AFD=∠D+∠ABC,∠DCA=∠A+∠ABC,从而得出∠AFD=∠DCA;

(2)成立.由△ABC≌△DEF,可证明∠ABF=∠DEC.则△ABF≌△DEC,从而证出∠AFD=∠DCA;

(3)BO⊥AD.由△ABC≌△DEF,可证得点B在AD的垂直平分线上,进而证得点O在AD的垂直平分线上,则直线BO是AD的垂直平分线,即BO⊥AD.解答:解:(1)∠AFD=∠DCA(或相等). (2)∠AFD=∠DCA(或成立),理由如下:

方法一:由△ABC≌△DEF,得AB=DE,BC=EF(或BF=EC),∠ABC=∠DEF,∠BAC=∠EDF.∴∠ABC-∠FBC=∠DEF-∠CBF, ∴∠ABF=∠DEC.

在△ABF和△DEC中, AB=DE ∠ABF=∠DEC BF=EC

.