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21、(2013年南京) 如图，在四边形ABCD中，AB=BC，对角线BD平分 ?ABC，P是BD上一点，过点P作PM?AD，PN?CD，垂 足分别为M、N。
(1) 求证：?ADB=?CDB；
B (2) 若?ADC=90?，求证：四边形MPND是正方形。
解析：
证明：(1) ∵BD平分?ABC，∴?ABD=?CBD。又∵BA=BC，BD=BD， ∴△ABD ? △CBD。∴?ADB=?CDB。 (4分) (2) ∵PM?AD，PN?CD，∴?PMD=?PND=90?。 又∵?ADC=90?，∴四边形MPND是矩形。 ∵?ADB=?CDB，PM?AD，PN?CD，∴PM=PN。 ∴四边形MPND是正方形。 (8分) 22、（2013?鄂州）如图正方形ABCD的边长为4，E、F分别为DC、BC中点． （1）求证：△ADE≌△ABF． （2）求△AEF的面积．
A P C M D N
考点： 正方形的性质；全等三角形的判定与性质．3718684 分析： （1）由四边形ABCD为正方形，得到AB=AD，∠B=∠D=90°，DC=CB，由E、F分别为DC、BC中点，得出DE=BF，进而证明出两三角形全等； （2）首先求出DE和CE的长度，再根据S△AEF=S正方形ABCD﹣S△ADE﹣S△ABF﹣S△CEF得出结果． 解答： （1）证明：∵四边形ABCD为正方形， ∴AB=AD，∠=90°，DC=CB， ∵E、F为DC、BC中点， ∴DE=DC，BF=BC， ∴DE=BF， ∵在△ADE和△ABF中， ， ∴△ADE≌△ABF（SAS）； （2）解：由题知△ABF、△ADE、△CEF均为直角三角形， 且AB=AD=4，DE=BF=34=2，CE=CF=34=2， 全国中考网 www.zhongkao.com 版权所有 谢绝转载
全国中考信息资源门户网站 www.zhongkao.com ∴S△AEF=S正方形ABCD﹣S△ADE﹣S△ABF﹣S△CEF =434﹣3432﹣3432﹣3232 =6． 点评： 本题主要考查正方形的性质和全等三角形的证明，解答本题的关键是熟练掌握正方形的性质以及全等三角形的判定定理，此题难度不大． 23、（2013?毕节地区）四边形ABCD是正方形，E、F分别是DC和CB的延长线上的点，且DE=BF，连接AE、AF、EF． （1）求证：△ADE≌△ABF；
（2）填空：△ABF可以由△ADE绕旋转中心 A 点，按顺时针方向旋转 90 度得到； （3）若BC=8，DE=6，求△AEF的面积．
考点： 旋转的性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质． 专题： 证明题． 分析： （1）根据正方形的性质得AD=AB，∠D=∠ABC=90°，然后利用“SAS”易证得△ADE≌△ABF； （2）由于△ADE≌△ABF得∠BAF=∠DAE，则∠BAF+∠EBF=90°，即∠FAE=90°，根据旋转的定义可得到△ABF可以由△ADE绕旋转中心 A点，按顺时针方向旋转90 度得到； （3）先利用勾股定理可计算出AE=10，在根据△ABF可以由△ADE绕旋转中心 A点，按顺时针方向旋转90 度得到AE=AF，∠EAF=90°，然后根据直角三角形的面积公式计算即可． 解答： （1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AD=AB，∠D=∠ABC=90°， 而F是DCB的延长线上的点， ∴∠ABF=90°， 在△ADE和△ABF中 ， ∴△ADE≌△ABF（SAS）； （2）解：∵△ADE≌△ABF， ∴∠BAF=∠DAE， 而∠DAE+∠EBF=90°， ∴∠BAF+∠EBF=90°，即∠FAE=90°， ∴△ABF可以由△ADE绕旋转中心 A点，按顺时针方向旋转90 度得到； 全国中考网 www.zhongkao.com 版权所有 谢绝转载
全国中考信息资源门户网站 www.zhongkao.com 故答案为A、90； （3）解：∵BC=8， ∴AD=8， 在Rt△ADE中，DE=6，AD=8， ∴AE==10， ∵△ABF可以由△ADE绕旋转中心 A点，按顺时针方向旋转90 度得到， ∴AE=AF，∠EAF=90°， 2∴△AEF的面积=AE=3100=50（平方单位）． 点评： 本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了全等三角形的判定与性质以及勾股定理． 24、（2013?黔东南州）如图，在正方形ABCD中，点M是对角线BD上的一点，过点M作ME∥CD交BC于点E，作MF∥BC交CD于点F．求证：AM=EF．
考点： 正方形的性质；全等三角形的判定与性质；矩形的判定与性质． 专题： 证明题． 分析： 过M点作MQ⊥AD，垂足为Q，作MP垂足AB，垂足为P，根据题干条件证明出AP=MF，PM=ME，进而证明△APM≌△FME，即可证明出AM=EF． 解答： 证明：过M点作MQ⊥AD，垂足为Q，作MP垂足AB，垂足为P， ∵四边形ABCD是正方形， ∴四边形MFDQ和四边形PBEM是正方形，四边形APMQ是矩形， ∴AP=QM=DF=MF，PM=PB=ME， ∵在△APM和△FME中， ， ∴△APM≌△FME（SAS）， ∴AM=EF． 全国中考网 www.zhongkao.com 版权所有 谢绝转载
全国中考信息资源门户网站 www.zhongkao.com 点评： 本题主要考查正方形的性质等知识点，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理以及矩形的性质等知识，此题正确作出辅助线很易解答． 25、（2013鞍山）如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE． （1）求证：CE=CF；
（2）若点G在AD上，且∠GCE=45°，则GE=BE+GD成立吗？为什么？
考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质． 专题：证明题；探究型． 分析：（1）由DF=BE，四边形ABCD为正方形可证△CEB≌△CFD，从而证出CE=CF．
（2）由（1）得，CE=CF，∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD即∠ECF=∠BCD=90°又∠GCE=45°所以可得∠GCE=∠GCF，故可证得△ECG≌△FCG，即EG=FG=GD+DF．又因为DF=BE，所以可证出GE=BE+GD成立． 解答：（1）证明：在正方形ABCD中， ∵BC=CD，∠B=∠CDF，BE=DF， ∴△CBE≌△CDF（SAS）． ∴CE=CF．（3分）
（2）解：GE=BE+GD成立．（4分）
理由是：∵由（1）得：△CBE≌△CDF， ∴∠BCE=∠DCF，（5分）
∴∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD，即∠ECF=∠BCD=90°，（6分） 又∠GCE=45°，∴∠GCF=∠GCE=45°． ∵CE=CF，∠GCE=∠GCF，GC=GC， ∴△ECG≌△FCG（SAS）． ∴GE=GF．（7分） ∴GE=DF+GD=BE+GD．（8分）
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点评：本题主要考查证两条线段相等往往转化为证明这两条线段所在三角形全等的思想，在第二问中也是考查了通过全等找出和GE相等的线段，从而证出关系是不是成立． 26、（2013?铁岭）如图，△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，连接AE，BE． （1）求证：四边形AEBD是矩形；
（2）当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形，并说明理由．
考点： 矩形的判定；正方形的判定．3718684 分析： （1）利用平行四边形的判定首先得出四边形AEBD是平行四边形，进而理由等腰三角形的性质得出∠ADB=90°，即可得出答案； （2）利用等腰直角三角形的性质得出AD=BD=CD，进而利用正方形的判定得出即可． 解答： （1）证明：∵点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD， ∴四边形AEBD是平行四边形， ∵AB=AC，AD是△ABC的角平分线， ∴AD⊥BC， ∴∠ADB=90°， ∴平行四边形AEBD是矩形； （2）当∠BAC=90°时， 理由：∵∠BAC=90°，AB=AC，AD是△ABC的角平分线， ∴AD=BD=CD， ∵由（1）得四边形AEBD是矩形， ∴矩形AEBD是正方形． 点评： 此题主要考查了正方形的判定以及矩形的判定和等腰直角三角形的性质等知识，熟练掌握正方形和矩形的判定是解题关键． 27、（2013?包头）如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E是BC上的一个动点，连接DE，交AC于点F． （1）如图①，当
时，求
的值；
OA；
（2）如图②当DE平分∠CDB时，求证：AF=
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