2013年中考数学试卷分类汇编-四边形(正方形) 下载本文

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(3)如图③,当点E是BC的中点时,过点F作FG⊥BC于点G,求证:CG=BG.

考点: 相似形综合题.3718684 分析: (1)利用相似三角形的性质求得EF于DF的比值,依据△CEF和△CDF同高,则面积的比就是EF与DF的比值,据此即可求解; (2)利用三角形的外角和定理证得∠ADF=∠AFD,可以证得AD=AF,在直角△AOD中,利用勾股定理可以证得; (3)连接OE,易证OE是△BCD的中位线,然后根据△FGC是等腰直角三角形,易证△EGF∽△ECD,利用相似三角形的对应边的比相等即可证得. 解答: (1)解:∵=, ∴=. ∵四边形ABCD是正方形, ∴AD∥BC,AD=BC, ∴△CEF∽△ADF, ∴∴==, =, ∴==; (2)证明:∵DE平分∠CDB,∴∠ODF=∠CDF, 又∵AC、BD是正方形ABCD的对角线. ∴∠ADO=∠FCD=45°,∠AOD=90°,OA=OD,而∠ADF=∠ADO+∠ODF,∠AFD=∠FCD+∠CDF, ∴∠ADF=∠AFD,∴AD=AF, 在直角△AOD中,根据勾股定理得:AD=∴AF=OA. (3)证明:连接OE. ∵点O是正方形ABCD的对角线AC、BD的交点. 全国中考网 www.zhongkao.com 版权所有 谢绝转载

=OA, 全国中考信息资源门户网站 www.zhongkao.com ∴点O是BD的中点. 又∵点E是BC的中点, ∴OE是△BCD的中位线, ∴OE∥CD,OE=CD, ∴△OFE∽△CFD. ∴∴==, =. 又∵FG⊥BC,CD⊥BC, ∴FG∥CD, ∴△EGF∽△ECD, ∴==. 在直角△FGC中,∵∠GCF=45°. ∴CG=GF, 又∵CD=BC, ∴∴==, =. ∴CG=BG. 点评: 本题是勾股定理、三角形的中位线定理、以及相似三角形的判定与性质的综合应用,理解正方形的性质是关键. 28、(2013?曲靖)如图,点E在正方形ABCD的边AB上,连接DE,过点C作CF⊥DE于F,过点A作AG∥CF交DE于点G. (1)求证:△DCF≌△ADG.

(2)若点E是AB的中点,设∠DCF=α,求sinα的值.

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考点: 正方形的性质;全等三角形的判定与性质;解直角三角形. 分析: (1)根据正方形的性质求出AD=DC,∠ADC=90°,根据垂直的定义求出∠CFD=∠CFG=90°,再根据两直线平行,内错角相等求出∠AGD=∠CFG=90°,从而得到∠AGD=∠CFD,再根据同角的余角相等求出∠ADG=∠DCF,然后利用“角角边”证明△DCF和△ADG全等即可; (2)设正方形ABCD的边长为2a,表示出AE,再利用勾股定理列式求出DE,然后根据锐角的正弦等于对边比斜边求出∠ADG的正弦,即为α的正弦. 解答: (1)证明:在正方形ABCD中,AD=DC,∠ADC=90°, ∵CF⊥DE, ∴∠CFD=∠CFG=90°, ∵AG∥CF, ∴∠AGD=∠CFG=90°, ∴∠AGD=∠CFD, 又∵∠ADG+∠CDE=∠ADC=90°, ∠DCF+∠CDE=90°, ∴∠ADG=∠DCF, ∵在△DCF和△ADG中, , ∴△DCF≌△ADG(AAS); (2)设正方形ABCD的边长为2a, ∵点E是AB的中点, ∴AE=32a=a, 在Rt△ADE中,DE=∴sin∠ADG===, ==a, ∵∠ADG=∠DCF=α, ∴sinα=. 点评: 本题考查了正方形的性质,全等三角形的判定与性质,锐角三角函数,同角的余角相等的性质,以及勾股定理的应用,熟练掌握各图形的性质并确定出三角形全等的条件全国中考网 www.zhongkao.com 版权所有 谢绝转载

全国中考信息资源门户网站 www.zhongkao.com 是解题的关键. 29、(2013?天津)如图,将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中,点A、B、C均落在格点上.

(Ⅰ)△ABC的面积等于 6 ;

(Ⅱ)若四边形DEFG是△ABC中所能包含的面积最大的正方形,请你在如图所示的网格中,用直尺和三角尺画出该正方形,并简要说明画图方法(不要求证明) 取格点P,连接PC,过点A画PC的平行线,与BC交于点Q,连接PQ与AC相交得点D,过点D画CB的平行线,与AB相交得点E,分别过点D、E画PC的平行线,与CB相交得点G,F,则四边形DEFG即为所求 .

考点: 作图—相似变换;三角形的面积;正方形的性质.3718684 专题: 计算题. 分析: (Ⅰ)△ABC以AB为底,高为3个单位,求出面积即可; (Ⅱ)作出所求的正方形,如图所示,画图方法为:取格点P,连接PC,过点A画PC的平行线,与BC交于点Q,连接PQ与AC相交得点D,过点D画CB的平行线,与AB相交得点E,分别过点D、E画PC的平行线,与CB相交得点G,F,则四边形DEFG即为所求 解答: 解:(Ⅰ)△ABC的面积为:3433=6; (Ⅱ)如图,取格点P,连接PC,过点A画PC的平行线,与BC交于点Q,连接PQ与AC相交得点D,过点D画CB的平行线, 与AB相交得点E,分别过点D、E画PC的平行线,与CB相交得点G,F, 则四边形DEFG即为所求. 故答案为:(Ⅰ)6;(Ⅱ)取格点P,连接PC,过点A画PC的平行线,与BC交于点Q,连接PQ与AC相交得点D,过点D画CB的平行线,与AB相交得点E,分别过点D、E画PC的平行线,与CB相交得点G,F,则四边形DEFG即为所求 点评: 此题考查了作图﹣位似变换,三角形的面积,以及正方形的性质,作出正确的图形是解本题的关键. 全国中考网 www.zhongkao.com 版权所有 谢绝转载

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30、(2013?绥化)已知,在△ABC中,∠BAC=90°,∠ABC=45°,点D为直线BC上一动点(点D不与点B,C重合).以AD为边做正方形ADEF,连接CF (1)如图1,当点D在线段BC上时.求证CF+CD=BC;

(2)如图2,当点D在线段BC的延长线上时,其他条件不变,请直接写出CF,BC,CD三条线段之间的关系;

(3)如图3,当点D在线段BC的反向延长线上时,且点A,F分别在直线BC的两侧,其他条件不变;

①请直接写出CF,BC,CD三条线段之间的关系;

②若正方形ADEF的边长为2,对角线AE,DF相交于点O,连接OC.求OC的长度.

考点: 四边形综合题. 分析: (1)三角形ABC是等腰直角三角形,利用SAS即可证明△BAD≌△CAF,从而证得CF=BD,据此即可证得; (2)同(1)相同,利用SAS即可证得△BAD≌△CAF,从而证得BD=CF,即可得到CF﹣CD=BC; (3)首先证明△BAD≌△CAF,△FCD是直角三角形,然后根据正方形的性质即可求得DF的长,则OC即可求得. 解答: 证明:(1)∵∠BAC=90°,∠ABC=45°, ∴∠ACB=∠ABC=45°, ∴AB=AC, ∵四边形ADEF是正方形, ∴AD=AF,∠DAF=90°, ∵∠BAD=90°﹣∠DAC,∠CAF=90°﹣∠DAC, ∴∠BAD=∠CAF, 则在△BAD和△CAF中, , ∴△BAD≌△CAF(SAS), ∴BD=CF, ∵BD+CD=BC, ∴CF+CD=BC; (2)CF﹣CD=BC; 全国中考网 www.zhongkao.com 版权所有 谢绝转载