全国中考信息资源门户网站 www.zhongkao.com （3）①CD﹣CF=BC ②∵∠BAC=90°，∠ABC=45°， ∴∠ACB=∠ABC=45°， ∴AB=AC， ∵四边形ADEF是正方形， ∴AD=AF，∠DAF=90°， ∵∠BAD=90°﹣∠BAF，∠CAF=90°﹣∠BAF， ∴∠BAD=∠CAF， ∵在△BAD和△CAF中， ∴△BAD≌△CAF（SAS）， ∴∠ACF=∠ABD， ∵∠ABC=45°， ∴∠ABD=135°， ∴∠ACF=∠ABD=135°， ∴∠FCD=90°， ∴△FCD是直角三角形． ∵正方形ADEF的边长为2且对角线AE、DF相交于点O． ∴DF=AD=4，O为DF中点． ∴OC=DF=2． 点评： 本题考查了正方形与全等三角形的判定与性质的综合应用，证明三角形全等是关键． 31、（2013济宁）如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、DC上的点，且AF⊥BE． （1）求证：AF=BE； （2）如图2，在正方形ABCD中，M、N、P、Q分别是边AB、BC、CD、DA上的点，且MP⊥NQ．MP与NQ是否相等？并说明理由．

考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质． 专题：证明题． 分析：（1）根据正方形的性质可得AB=AD，∠BAE=∠D=90°，再根据同角的余角相等求出∠ABE=∠DAF，然后利用“角边角”证明△ABE和△DAF全等，再根据全等三角形的证明即可； （2）过点A作AF∥MP交CD于F，过点B作BE∥NQ交AD于E，然后与（1）相同． 解答：（1）证明：在正方形ABCD中，AB=AD，∠BAE=∠D=90°，

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∴∠DAF+∠BAF=90°， ∵AF⊥BE，

∴∠ABE+∠BAF=90°， ∴∠ABE=∠DAF，

∵在△ABE和△DAF中，

，

∴△ABE≌△DAF（ASA）， ∴AF=BE；

（2）解：MP与NQ相等．

理由如下：如图，过点A作AF∥MP交CD于F，过点B作BE∥NQ交AD于E， 则与（1）的情况完全相同．

点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，主要利用了正方形的四条边都相等，每一个角都是直角的性质，同角的余角相等的性质，利用三角形全等证明相等的边是常用的方法之一，要熟练掌握并灵活运用． 32、（2013?常德）如图，已知⊙O是等腰直角三角形ADE的外接圆，∠ADE=90°，延长ED到C使DC=AD，以AD，DC为邻边作正方形ABCD，连接AC，连接BE交AC于点H．求证： （1）AC是⊙O的切线． （2）HC=2AH．

考点： 切线的判定；等腰直角三角形；正方形的性质． 专题： 证明题． 分析： （1）根据圆周角定理由∠ADE=90°得AE为⊙O的直径，再根据等腰直角三角形得到∠EAD=45°，根据正方形得到∠DAC=45°，则∠EAC=90°，然后根据切线的判定定理即可得到结论； （2）由AB∥CD得△ABH∽△CEH，则AH：CH=AB：ED，根据等腰直角三角形和正方形的性质易得EC=2AB，则AH：CH=1：2． 解答： 证明：（1）∵∠ADE=90°， 全国中考网 www.zhongkao.com 版权所有 谢绝转载

全国中考信息资源门户网站 www.zhongkao.com ∴AE为⊙O的直径， ∵△ADE为等腰直角三角形， ∴∠EAD=45°， ∵四边形ABCD为正方形， ∴∠DAC=45°， ∴∠EAC=45°+45°=90°， ∴AC⊥AE， ∴AC是⊙O的切线； （2）∵四边形ABCD为正方形， ∴AB∥CD， ∴△ABH∽△CEH， ∴AH：CH=AB：ED， ∵△ADE为等腰直角三角形， ∴AD=ED， 而AD=AB=DC， ∴EC=2AB， ∴AH：CH=1：2， 即HC=2AH． 点评： 本题考查了切线的判定：过半径的外端点与半径垂直的直线为圆的切线．也考查了等腰直角三角形的性质、正方形的性质以及三角形相似的判定与性质． 33、（2013?衡阳）如图，P为正方形ABCD的边AD上的一个动点，AE⊥BP，CF⊥BP，垂足分别为点E、F，已知AD=4．

22

（1）试说明AE+CF的值是一个常数；

（2）过点P作PM∥FC交CD于点M，点P在何位置时线段DM最长，并求出此时DM的值．

考点： 正方形的性质；二次函数的最值；全等三角形的判定与性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质．3718684 分析： （1）由已知∠AEB=∠BFC=90°，AB=BC，结合∠ABE=∠BCF，证明△ABE≌△BCF，可22222得AE=BF，于是AE+CF=BF+CF=BC=16为常数； （2）设AP=x，则PD=4﹣x，由已知∠DPM=∠PAE=∠ABP，△PDM∽△BAP，列出关于x的一元二次函数，求出DM的最大值． 解答： 解：（1）由已知∠AEB=∠BFC=90°，AB=BC， 又∵∠ABE+∠FBC=∠BCF+∠FBC， ∴∠ABE=∠BCF， ∵在△ABE和△BCF中， 全国中考网 www.zhongkao.com 版权所有 谢绝转载

全国中考信息资源门户网站 www.zhongkao.com ， ∴△ABE≌△BCF（AAS）， ∴AE=BF， 22222∴AE+CF=BF+CF=BC=16为常数； （2）设AP=x，则PD=4﹣x， 由已知∠DPM=∠PAE=∠ABP， ∴△PDM∽△BAP， ∴即∴DM==， =， =x﹣x， 2当x=2时，DM有最大值为1． 点评： 本题主要考查正方形的性质等知识点，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理以及三角形相似等知识，此题有一定的难度，是一道不错的中考试题． 34、（2013?衡阳附加题不算分）一种电讯信号转发装置的发射直径为31km．现要求：在一边长为30km的正方形城区选择若干个安装点，每个点安装一个这种转发装置，使这些装置转发的信号能完全覆盖这个城市．问：

（1）能否找到这样的4个安装点，使得这些点安装了这种转发装置后能达到预设的要求？在图1中画出安装点的示意图，并用大写字母M、N、P、Q表示安装点； （2）能否找到这样的3个安装点，使得在这些点安装了这种转发装置后能达到预设的要求？在图2中画出示意图说明，并用大写字母M、N、P表示安装点，用计算、推理和文字来说明你的理由．

考点： 作图—应用与设计作图． 专题： 作图题． 分析： （1）可把正方形分割为四个全等的正方形，作出这些正方形的对角线，把装置放在交点处，交点到其余各个小正方形顶点的距离相等通过计算看是否适合； （2）由（1）得到启示，把正方形分割为三个长方形，左边的一个矩形的对角线能辐射的最大直径为31，看能否把三个装置放在三个长方形的对角线的交点处． 解答： 解：（1）如图1，将正方形等分成如图的四个小正方形，将这4个转发装置安装在这全国中考网 www.zhongkao.com 版权所有 谢绝转载

全国中考信息资源门户网站 www.zhongkao.com 4个小正方形对角线的交点处， 此时，每个小正方形的对角线长为 盖一个小正方形区域， 故安装4个这种装置可以达到预设的要求； （2）（画图正确给1分） 将原正方形分割成如图2中的3个矩形， ，每个转发装置都能完全覆 使得BE=OD=OC．将每个装置安装在这些矩形的对角线交点处， 则AE=∴OD=，， ， 即如此安装三个这个转发装置，也能达到预设要求． 点评： 考查应用与设计作图；解决本题的关键是先利用常见图形得到合适的计算方法和思路，然后根据类比方法利用覆盖的最大距离得到相类似的解． 35、（2013?呼和浩特）如图，在边长为3的正方形ABCD中，点E是BC边上的点，BE=1，∠AEP=90°，且EP交正方形外角的平分线CP于点P，交边CD于点F， （1）

的值为

；

（2）求证：AE=EP；

（3）在AB边上是否存在点M，使得四边形DMEP是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．

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