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考点： 正方形的性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定．3718684 分析： （1）由正方形的性质可得：∠B=∠C=90°，由同角的余角相等，可证得：∠BAE=∠CEF，根据同角的正弦值相等即可解答； （2）在BA边上截取BK=NE，连接KE，根据角角之间的关系得到∠AKE=∠ECP，由AB=CB，BK=BE，得AK=EC，结合∠KAE=∠CEP，证明△AKE≌△ECP，于是结论得出； （3）作DM⊥AE于AB交于点M，连接ME、DP，易得出DM∥EP，由已知条件证明△ADM≌△BAE，进而证明MD=EP，四边形DMEP是平行四边形即可证出． 解答： （1）解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠B=∠D， ∵∠AEP=90°， ∴∠BAE=∠FEC， 在Rt△ABE中，AE=∵sin∠BAE=∴=， =sin∠FEC==， ， （2）证明：在BA边上截取BK=NE，连接KE， ∵∠B=90°，BK=BE， ∴∠BKE=45°， ∴∠AKE=135°， ∵CP平分外角， ∴∠DCP=45°， ∴∠ECP=135°， ∴∠AKE=∠ECP， ∵AB=CB，BK=BE， ∴AB﹣BK=BC﹣BE， 即：AK=EC， 易得∠KAE=∠CEP， ∵在△AKE和△ECP中， ， ∴△AKE≌△ECP（ASA）， ∴AE=EP； 全国中考网 www.zhongkao.com 版权所有 谢绝转载

全国中考信息资源门户网站 www.zhongkao.com （3）答：存在． 证明：作DM⊥AE于AB交于点M， 则有：DM∥EP，连接ME、DP， ∵在△ADM与△BAE中， ， ∴△ADM≌△BAE（AAS）， ∴MD=AE， ∵AE=EP， ∴MD=EP， ∴MDEP， ∴四边形DMEP为平行四边形． 点评： 此题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质以及正方形的性质等知识．此题综合性很强，图形比较复杂，解题的关键是注意数形结合思想的应用与辅助线的准确选择． 36、（2013泰安）如图，四边形ABCD为正方形．点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（0，﹣3），反比例函数y=的图象经过点C，一次函数y=ax+b的图象经过点C，一次函数y=ax+b的图象经过点A，

（1）求反比例函数与一次函数的解析式；

（2）求点P是反比例函数图象上的一点，△OAP的面积恰好等于正方形ABCD的面积，求P点的坐标．

考点：反比例函数与一次函数的交点问题．

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分析：（1）先根据正方形的性质求出点C的坐标为（5，﹣3），再将C点坐标代入反比例函数y=中，运用待定系数法求出反比例函数的解析式；同理，将点A，C的坐标代入一次函数y=ax+b中，运用待定系数法求出一次函数函数的解析式； （2）设P点的坐标为（x，y），先由△OAP的面积恰好等于正方形ABCD的面积，列出关于x的方程，解方程求出x的值，再将x的值代入y=﹣

，即可求出P点的坐标．

解答：解：（1）∵点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（0，﹣3）， ∴AB=5，

∵四边形ABCD为正方形， ∴点C的坐标为（5，﹣3）．

∵反比例函数y=的图象经过点C， ∴﹣3=，解得k=﹣15， ∴反比例函数的解析式为y=﹣

；

∵一次函数y=ax+b的图象经过点A，C， ∴解得

， ，

∴一次函数的解析式为y=﹣x+2； （2）设P点的坐标为（x，y）．

∵△OAP的面积恰好等于正方形ABCD的面积，

2

∴3OA?|x|=5， ∴32|x|=25， 解得x=±25． 当x=25时，y=﹣当x=﹣25时，y=﹣

=﹣；

=．

∴P点的坐标为（25，﹣）或（﹣25，）．

点评：本题考查了正方形的性质，反比例函数与一次函数的交点问题，运用待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式，三角形的面积，难度适中．运用方程思想是解题的关键． 37、（2013?资阳）在一个边长为a（单位：cm）的正方形ABCD中，点E、M分别是线段AC，CD上的动点，连结DE并延长交正方形的边于点F，过点M作MN⊥DF于H，交AD于N． （1）如图1，当点M与点C重合，求证：DF=MN；

（2）如图2，假设点M从点C出发，以1cm/s的速度沿CD向点D运动，点E同时从点A出发，以cm/s速度沿AC向点C运动，运动时间为t（t＞0）；

①判断命题“当点F是边AB中点时，则点M是边CD的三等分点”的真假，并说明理由． ②连结FM、FN，△MNF能否为等腰三角形？若能，请写出a，t之间的关系；若不能，请说明理由．

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考点： 四边形综合题 分析： （1）证明△ADF≌△DNC，即可得到DF=MN； （2）①首先证明△AFE∽△CDE，利用比例式求出时间t=a，进而得到CM=a=CD，所以该命题为真命题； ②若△MNF为等腰三角形，则可能有三种情形，需要分类讨论． 解答： （1）证明：∵∠DNC+∠ADF=90°，∠DNC+∠DCN=90°， ∴∠ADF=∠DCN． 在△ADF与△DNC中， ， ∴△ADF≌△DNC（ASA）， ∴DF=MN． （2）解：①该命题是真命题． 理由如下：当点F是边AB中点时，则AF=AB=CD． ∵AB∥CD，∴△AFE∽△CDE， ∴， a， ∴AE=EC，则AE=AC=∴t==a． 则CM=1?t=a=CD， ∴点M为边CD的三等分点． ②能．理由如下： 易证AFE∽△CDE，∴易证△MND∽△DFA，∴，即，即，得AF=，得ND=t． ． 全国中考网 www.zhongkao.com 版权所有 谢绝转载

全国中考信息资源门户网站 www.zhongkao.com ∴ND=CM=t，AN=DM=a﹣t． 若△MNF为等腰三角形，则可能有三种情形： （I）若FN=MN，则由AN=DM知△FAN≌△NDM， ∴AF=DM，即=t，得t=0，不合题意． ∴此种情形不存在； （II）若FN=FM，由MN⊥DF知，HN=HM，∴DN=DM=MC， ∴t=a，此时点F与点B重合； （III）若FM=MN，显然此时点F在BC边上，如下图所示： 易得△MFC≌△NMD，∴FC=DM=a﹣t； 又由△NDM∽△DCF，∴∴=a﹣t， ，即，∴FC=． ∴t=a，此时点F与点C重合． 综上所述，当t=a或t=a时，△MNF能够成为等腰三角形． 点评： 本题是运动型几何综合题，考查了相似三角形、全等三角形、正方形、等腰三角形、命题证明等知识点．解题要点是：（1）明确动点的运动过程；（2）明确运动过程中，各组成线段、三角形之间的关系；（3）运用分类讨论的数学思想，避免漏解． 38、（2013杭州压轴题）如图，已知正方形ABCD的边长为4，对称中心为点P，点F为BC边上一个动点，点E在AB边上，且满足条件∠EPF=45°，图中两块阴影部分图形关于直线AC成轴对称，设它们的面积和为S1． （1）求证：∠APE=∠CFP；

（2）设四边形CMPF的面积为S2，CF=x，

．

①求y关于x的函数解析式和自变量x的取值范围，并求出y的最大值； ②当图中两块阴影部分图形关于点P成中心对称时，求y的值．

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