?0,x??1?1,?1?x?2??4即 F(x)??
3?,2?x?3?4??1,x?31?11?P?X???F()?，
2?24?5?53311?3P??X???F()?F()???，
2?22442?2P?2?X?3??F(3)?F(2)?P?X?2??1?313??。 4242．设随机变量X具有概率密度
?kx,0?x?3,?xf?x???2?,3?x?4,
2?0.其它??1?确定常数k；?2?求X的分布函数F?x?；?3?求P??1?X?7???。 2?答：?1?由?f?x?dx?1，得
??4?1x?k? 解得 。 kxdx?2?dx?1??0?3?62??3??2?X的分布函数为
0，x?0,?xx?0?x?3,??06dx，?F?x???3 x?xx???dx???2??dx，3?x?4,0632????1，x?4.?0，x?0,?2?x，0?x?3,??12即 F?x??? 2??3?2x?x,3?x?4,?4?1，x?4.??7?7?41???3? P?。 ??1?X??F?F1??????2???486
3．已知随机变量?有分布密度
?ax?b,1?x?3 P(x)=?
0,其他?又知P{2
解： ??(ax?b)dx?2?(ax?b)dx （1）
2132 又 ?(ax?b)dx?1 （2）
????5解之得：a?b?3a?2b
2 4a+2b=1
1?a???3 ??1?b???6?4．设随机变量X服从指数分布，其概率密度为
?1?x/??e,x?0,f(x)??? 其中??0，
??0,x?0.求E(X)，D(X)。
??1答：E(X)??xf(x)dx??xe?x/?dx
??0? ??xe??x/????x/??edx??， 0?0?E(X2)??x2f(x)dx??x2??01?e?x/?dx
??x2e?x/?????2xe?x/?dx?2?2， 002于是 D(X)?E(X2)??E(X)??2?2??2??2. 5．设随机变量X具有概率密度
?x?,0?x?4, fX?x???8
??0,其它，7
求随机变量Y?2X?8的概率密度。
答：分别记X,Y的分布函数为FX?x?,FY?y?，
y?8???y?8?则FY?y??P?Y?y??P?2X?8?y??P?X??。 ??FX?2???2?将FY?y?关于y求导数，得Y?2X?8的概率密度为
?y?8??y?8? fY?y??fX????
22?????1?y?8?1y?8??????8?2?2,0??4,
2??0,其它?y?8???32,8?y?16, ??0,其它.6．某人独立射击400次，命中率为0.015。试求此人至少命中2次的概率。
解：因为是独立射击，所以服从二项分布此人在400次独立射击中至少命中2次的概率=1-此人在400次独立射击中只击中1次的概率-此人在400次独立射击中只击中0次的概率。所以有
P(此人在400次独立射击中只击中1次)=p(??1)= C400P(1?p)1400?1
P(此人在400次独立射击中只击中0次)=p(??0)= C400p00(1?p)400?0?p?1-p(??1)-p(??0)
=1-0.00240467267584-0.00236860258570 =0.99522672473846
7．设随机变量(X,Y)具有概率密度
?3? f(x,y)??2x3y2??,1?y?x,x?1, x0,其它.1). XY求数学期望E(Y)，E(8
E(Y)?????????yf(x,y)dydx????1答：
?3??133?1x??dydx?lny11dx3?x2x3y?12xxxlnx3?13?3lnx?dx???dx??3?2x2?4x3??121x
??1?x133E()???f(x,y)dydx??dx?143dy?.
????xy1XY5x2xy8．设总体X在?a,b?上服从均匀分布，a,b未知. X1,X2,?,Xn是来自X的样本， 求a,b的矩估计量.
答：?1?E(X)?(a?b)/2,
?2?E(X2)?D(X)??E(X)2??(b?a)2/12?(a?b)2/4.
a?b?2?1,?即 ? 2b?a?12(???).21?解得
a??1?3(?2??12),b??1?3(?2??12).
分别以A1,A2代替?1,?2,得到a,b的矩估计量分别为：
^a?A1?b?A1???3(A2?A12)?X?^3n2?(Xi?X), ni?13(A2?A12)?X?3n2?(Xi?X). ni?19.设总体X的均值?及方差?2都存在，且?2?0.但?，?2均未知.又设
X1,X2,?,Xn是来自X的样本. 求?，?2的矩估计量.
?1?E(X)??,?答：由 ? 2222????E(X)?D(X)?E(X)????.?2????1,解得 ?22 ?????21.?分别以A1,A2代替?1,?2,得到?，?2的矩估计量分别为：
9
??A~~1?X,
221nn2?A2?A?1?Xi2?X2?1?(Xi?X). ?ni?1ni?110．有一批糖果.现从中随机地取16袋，称得重量（以克计）如下： 506 508 499 503 504 510 497 512 514 505 493 496 506 502 509 496
设袋装糖果的重量近似地服从正态分布，求总体均值?的置信水平为0.95的置信区间。
答：由于1???0.95,?/2?0.025,n?1?15,t0.025(15)?2.1315, 由数据得x?503.75,s?6.2022.
则得均值?的一个置信水平为0.95的置信区间为 （503.75±
6.2022?2.1315）, 16即 （500.4，507.1）
11．为研究某一化学反应过程中，温度x（℃）对产品得率Y（﹪）的影响，测得数据如下.
温度x（℃） 得率Y（﹪） 100 40 110 50 120 55 130 60 140 65 这里自变量x是普通变量，Y是随机变量，求Y关于x的线性回归方程。 答：列表如下; x 100 110 120 130 140 y x2 y2 1600 2500 3025 3600 4225 xy 40 50 55 60 65 10000 12100 14400 16900 19600 4000 5500 6600 7800 9100 10