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2013年全国初中数学联合竞赛试题

第一试

一、选择题（本题满分42分，每小题7分） 1.计算43?22?41?242?（ ） （A）2?1 （B）1 （C）2 2.满足等式?2?m?m2?m?2（D）2

?1的所有实数m的和为（ ）

（A）3 （B）4 （C）5 （D）6

3.已知AB是圆O的直径，C为圆O上一点，?CAB?15，?ABC的平分线交圆O于点D，若CD?3，则AB=（ ） （A）2 （B）6

4.不定方程3x?7xy?2x?5y?17?0的全部正整数角（x,y）的组数为（ ） （A）1 （B）2 （C）3 （D）4

5矩形ABCD的边长AD=3，AB=2，E为AB的中点，F在线段BC上，且BF：FC=1：2， AF分别与DE，DB交于点M，N，则MN=（ ） （A）2（C）22 （D）3

355595115 （B） （C） （D） 7142828

6.设n为正整数，若不超过n的正整数中质数的个数等于合个数，则称n为“好数”，那么，所有“好数”之和为（ ） （A）33 （B）34 （C）2013 （D）2014

二、填空题（本题满分28分，每小题7分）

1.已知实数x,y,z满足x?y?4,z?1?xy?2y?9,则x?2y?3z?

2.将一个正方体的表面都染成红色，再切割成n(n?2)个相同的小正方体，若只有一面是红色的小正方体数目与任何面都不是红色的小正方体的数目相同，则n= 3.在ABC中，?A?60,?C?75,AB?10，D，E，F分别在AB，BC，CA上，则DEF的周长最小值为 精品文档

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4.如果实数x,y,z满足x2?y2?z2??xy?yz?zx??8，用A表示x?y,y?z,z?x的最大值，则A的最大值为

第二试（A）

一、（本题满分20分）已知实数a,b,c,d满足2a?3c?2b?3d??ad?bc??6,求

22222?a2?b2??c2?d2?的值。

二、（本题满分25分）已知点C在以AB为直径的圆O上，过点B、C作圆O的切线，交于点P，连AC，若OP?

三、（本题满分25分）已知t是一元二次方程x?x?1?0的一个根，若正整数a,b,m使得等式?at?m??bt?m??31m成立，求ab的值。 精品文档

29PB的值。 AC，求

2AC精品文档

第二试（B）

一、 （本题满分20分）已知t?成立，求ab的值。

二、（本题满分25分）在?ABC中，AB>AC，O、I分别是?ABC的外心和内心，且满足AB-AC=2OI。求证： （1）OI∥BC；

（2）S?AOC?S?AOB?2S?AOI。

三、（本题满分25分）若正数a,b,c满足

2?1，若正整数a,b,m使得等式?at?m??bt?m??17m?b?c?a??c?a?b??a?b?c??????????3，

2bc2ca2ab??????b2?c2?a2c2?a2?b2a2?b2?c2??求代数式的值。

2bc2ca2ab

222222222222

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