【例9】 如图，?AOB?45?，角内有点P，在角的两边有两点Q、R(均

不同于O点)，求作Q、R，使得?PQR的周长的最小．

CAPBMNAB

【补充】如图，M、N为?ABC的边AC、BC上的两个定点，在AB上求一点P，使?PMN的周长最短．

【例10】 已知如图，点M在锐角?AOB的内部，在OB边上求作一点A P，使点P到点M的距离与点P到OA的边的距离和最小．

【补充】已知：A、B两点在直线l的同侧， 在l上求作一点M，使得|AM?BM|最小．

【补充】已知：A、B两点在直线l的同侧，在l上求作一点M，使得|AM?BM|最大．

26

OMBBAl

【例11】 如图，正方形ABCD中，AB?8，M是DC上的一点，且DM?2，N是AC上的一动点，求

DN?MN的最小值与最大值．

AD

M

N

BC

【补充】例题中的条件不变，求DN?MN的最小值与最大值．

【补充】如图，已知正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM?2，N是AC上的一个动点，则

DN?MN的最小值是

ADMBC

家庭作业

【习题1】 (2007双柏中考)等腰三角形的两边长分别为4和9，则第三边长为 ． 【习题2】 等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12cm和21cm两部分，则这个等腰三角形的

底边的长为( )

A．17cm B．5cm C．17cm或5cm D．无法确定

【习题3】 已知等腰三角形的周长为20，腰长为x，求x的取值范围．

【习题4】 (2004天津)在下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )

【习题5】 判断下列图形(图)是否为轴对称图形？如果是，说出它有几条对称轴．

⑴ ⑵ ⑶ ⑷ ⑸ ⑹ ⑺ ⑻ ⑼

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【备选1】 ?ABC的一个内角的大小是400，且?A??B，那么?C的外角的大小是( )

A．140? B．80?或100? C． 100?或140? D． 80?或140?

【备选2】 已知等腰三角形一腰上的中线将它们的周长分为12和15两部分，求腰长和底长． 【备选3】 (四川省竞赛题)如图，在等腰Rt?ABC中，CA?CB?3，E的BC上一点，满足BE?2，在斜

边AB 上求作一点P使得PC?PE长度之和最小．

A月测备选

PCEB

【备选4】 在正方形ABCD中，E在BC上，BE?2，CE?1，P在BD上，求PE和PC的长度之和的最

小值．

APE‘DAPDBEC

BEC

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第六讲 全等三角形中的截长补短

板块一、截长补短

【例1】 已知?ABC中，?A?60o，BD、CE分别平分?ABC和.?ACB，BD、CE交于点O，试判断BE、

CD、BC的数量关系，并加以证明．

A

【例2】 如图，点M为正三角形ABD的边AB所在直线上的任意一点(点B除外)，作?DMN?60?，射

线MN与∠DBA外角的平分线交于点N，DM与MN有怎样的数量关系?

【例3】 AD⊥AB，CB⊥AB，DM=CM=a，AD=h，CB=k，∠AMD=75°，∠BMC=45°，则AB的长为 ( )

A. a B. k C.

AMBENDEODBCk?h D. h 2DCAMB【例4】 已知：如图，ABCD是正方形，∠FAD=∠FAE. 求证：BE+DF=AE.

29

ADFBCE

【例5】 以?ABC的AB、AC为边向三角形外作等边?ABD、?ACE，连结CD、BE相交于点O．求证：

OA平分?DOE．

DAEDFOBCBOCAE

【例6】 (北京市数学竞赛试题，天津市数学竞赛试题)如图所示，?ABC是边长为1的正三角形，?BDC是

顶角为120?的等腰三角形，以D为顶点作一个60?的?MDN，点M、N分别在AB、AC上，求?AMN的周长．

A

【例7】 五边形ABCDE中，AB=AE，BC+DE=CD，∠ABC+∠AED=180°，求证：AD平分∠CDE

30

BDCMN