第六章 第四节 基本不等式
课下练兵场
命 题 报 告 难度及题号 知识点 利用基本不等 式证明不等式 利用基本不等式求最值 基本不等式的实际应用 一、选择题
1
1．已知f(x)＝x＋－2(x＜0)，则f(x)有 ( )
容易题 (题号) 1、2、7 6 中等题 (题号) 11 3、4、8 5、9 稍难题 (题号) 10 12 xA．最大值为0 B．最小值为0 C．最大值为－4 D．最小值为－4 解析：∵x＜0，∴－x＞0，
11∴x＋－2＝－(－x＋)－2≤－2
x－x1
，即x＝－1. －x答案：C
2．若0＜x＜1，则f(x)＝x(4－3x)取得最大值时，x的值为 ( ) 1132A. B. C. D. 3243解析：∵0＜x＜1，∴4－3x＞0， 1
∴x(4－3x)＝·3x(4－3x)
313x＋4－3x24≤·()＝， 323
2
当且仅当3x＝4－3x，即x＝时取得等号．
3答案：D
3．(2009·重庆高考)已知a＞0，b＞0，则( )
A．2 B．22 C．4 D．5
1
－x·
1
－2＝－4，等号成立的条件是－x＝－xa＋
1
b＋2ab的最小值是
?112?a?b,解析：∵＋＋2ab≥＋2ab≥22×2＝4.当且仅当?abab立，即a＝b＝1时，不等式取最小值4.
答案：C
??ab?1时，等号成
4122
4．已知圆x＋y＋2x－4y＋1＝0关于直线2ax－by＋2＝0(a＞0，b＞0)对称，则＋的最
ab小值是 ( ) A．4 B．6 C．8 D．9
4
解析：由圆的对称性可得，直线2ax－by＋2＝0必过圆心(－1,2)，所以a＋b＝1.所以＋a1
b＝
4(a＋b)
a＋
a＋b4ba＝＋＋5≥2 bab4ba4ba·＋5＝9，当且仅当＝，即a＝2b时取等号．
abab答案：D
5．设M是△ABC内一点，且△ABC的面积为1，定义f(M)＝(m，n，p)，其中m、n、p分别114
是△MBC，△MCA，△MAB的面积，若f(M)＝(，x，y)，则＋的最小值是( )
2xyA．8 B．9 C．16 D．18
1
解析：由△ABC的面积为△MBC，△MCA，△MAB的面积之和，所以＋x＋y＝1，即x＋y2114148x2y＝，＋＝(＋)(2x＋2y)＝10＋＋≥18. 2xyxyyx8x2y11
当且仅当＝，即y＝2x时，即x＝，y＝时取等号．
yx63答案：D
6．(2010·惠州模拟)某商场中秋前30天月饼销售总量f(t)与时间t(0 ( ) A．18 B．27 C．20 D．16 2 f(10) 10 )的月 f(t)t2＋10t＋16 解析：平均销售量y＝＝ tt＝t＋ 16 t＋10≥18. 16 当且仅当t＝，即t＝4∈[1,30]等号成立， t即平均销售量的最小值为18. 答案：A 二、填空题 7．(2010·南京模拟)若logmn＝－1，则3n＋m的最小值是________． 解析：∵logmn＝－1，∴m＝n， ∴mn＝1，∵n＞0，m＞0且m≠1， ∴3n＋m≥23mn＝23. 答案：23 8．函数y＝ －1 x2x2 4 x4＋9 (x≠0)的最大值为________，此时x的值为________． ＝ 1 ≤ 1＝， 2961 解析：y＝ x＋9 x2＋ 9 x2 92 当且仅当x＝2，即x＝±3时取等号． x1 答案： ±3 6 9．当a＞0，a≠1时，函数f(x)＝loga(x－1)＋1的图象恒过定点A，若点A在直线mx－y＋n＝0上，则4＋2的最小值是________． 解析：A(2,1)，故2m＋n＝1. ∴4＋2≥24·2＝22 mnmn2m＋nmn＝22. 11mn当且仅当4＝2，即2m＝n，即n＝，m＝时取等号． 24∴4＋2的最小值为22. 答案：22 三、解答题 10．(1)求函数y＝x(a－2x)(x＞0，a为大于2x的常数)的最大值； (x＋5)(x＋2) (2)设x＞－1，求函数y＝的最值． x＋1解：(1)∵x＞0，a＞2x， 1 ∴y＝x(a－2x)＝×2x(a－2x) 212x＋(a－2x)2≤×[] 22＝， 8 mna2