习题精解解题方法与例题分析

一、已知运动方程（位置矢量），计算位移、速度和加速度。

计算（瞬时）速度和加速度一般用求导的方法：位置矢量（运动方程）对时间求导即为速度，速度对时间求导就是加速度。计算位移、平均速度、平均加速度可先由始末时刻确定始末位置，再由定义计算。

例1 一质点在平面上运动，已知质点位置矢量的表达式为

r?at2i?bt2j （其中a、b为常量），

则该质点作何种形式的运动？

解 由质点的位置矢量 r?at2i?bt2j

2??x?at得运动方程 ? 2??y?bt轨道方程

xab?， y?x yba质点的速度 v?dr?2ati?2btj dtdv?2ai?2bj dtbx。 a质点的加速度 a?质点的加速度为非零恒量，故该质点在xy平面内作匀变速直线运动，其轨道方程为y?3

例2 某质点的运动方程为 x =2t–7t+3（SI），则该质点作何种形式的运动？并确定加速度的方向。 解 由质点的运动方程 x =2t–7t+3 得质点的速度 v?质点的加速度 a?3

dx?2?21t2 dtdv??42t dt质点的加速度为时间的函数，故该质点作变加速直线运动；加速度为负，说明加速度方向沿x轴负方向。 例3 一质点沿x轴作直线运动，t时刻的坐标为x =5t– 3t (SI)。试求：

2

3

（1）在第2秒内的平均速度； （2）第2秒末的瞬时速度； （3）第2秒末的加速度。 解 （1）由平均速度的定义：

v??x/?t

(5?22?3?23)?(5?12?3?13)???6m/s

2?1（2）由定义 v?dx/dt?10t?9t2

t?2s时，有 v2??16m/s

（3）由定义 a?dv/dt?10?18t

t?2s时，有 a2??26m/s2

例4 在离船高度为h的岸边，绞车以恒定的速率v0收绳（绳原长l0），使船靠岸，如图1—1所示，试描述船的运动。

解 建立如图坐标系，显然船

l?l0?v0t

v0h在x轴上作直线运动。t时刻绳长为

l船的运动方程为

x?(l0?v0t)2?h2 速度为 v?(l0?v0t)v0dx??

22dt(l0?v0t)?hoxx图1—1

方向沿x轴负向。

v0h2dv加速度为 a???dt(l0?v0t)2?h22??32?v0h2 ?3x2方向沿x轴负向。

可见，船作加速直线运动，离岸越近，x越小，a越大。

例5 已知质点的运动方程x=2t，y=4–t（SI）。试求任一时刻质点的速度、切向加速度、法向加速度、总加速度的大小。

2

解 由运动方程可求得质点速度的x、y分量

vx?dxdy?2, vy???2t dtdt22速度大小为 v?vx?vy?21?t2

同理：ax?dvydvx2

??2 m/s ?0， ay?dtdt2

所以加速度大小为 a?ay??2 m/s 切向加速度：at?dv2t ?2dt1?t2法向加速度：an?a2?at?21?t2

二、已知加速度及初始条件，计算速度和运动方程。

此类问题是前一类问题的逆过程，加速度对时间的积分即为速度，速度对时间的积分就是运动方程。解决此类问题时应注意由初始条件确定积分上下限。

例6 一质点沿x轴运动，其加速度a与位置坐标的关系为 a=3+6x（SI）。如果质点在原点处的速度为零，试求其在任意位置处的速度。

解 设质点在任意位置x处的速度为v，则 a?2

dvdvdxdv?3?6x2 ???vdtdxdtdx分离变量，两边积分：

?v0vdv??(3?6x2)dx

0x得 v?6x?4x3

例7 一艘正在行驶的汽船，当关闭发动机后，沿一直线运动，加速度与船速的平方成正比且反向，即a??kv2，其中常量k>0。若关闭发动机时汽船的速度为v0，求：

（1）关闭发动机后t时刻的汽船速度；

（2）关闭发动机后的t时间内，汽船行驶的距离。

解 以汽船为研究对象，由于它做减速直线运动，所以取汽船运动方向为坐标轴x的正方向，坐标原点选择在刚关闭发动机的位置处。

（1）按直线运动的加速度公式有 a?由题意a??kv2，代入上式，有 ?kv2?分离变量 kdt??dv dtdv dtdv v2已知t=0时，v?v0，并设t时刻的速度为v，对上式取定积分

k?dt???0v0tvdv v2∴ v?v0

kv0t?1dx dt（2）由 v?有

v0dx? dtkv0t?1分离变量，两边取定积分，有

?x0dx??t0v0dt

kv0t?1