最新中考历年数学模拟试卷(三)(含答案) (217) 下载本文

∴DB∥AC.

【点评】本题考查了切线的性质,角平分线的判定,等边三角形的判定和性质,解本题的关键是判断出△ODB是等边三角形.

25.(8分)(2017?南京)如图,港口B位于港口A的南偏东37°方向,灯塔C恰好在AB的中点处,一艘海轮位于港口A的正南方向,港口B的正西方向的D处,它沿正北方向航行5km到达E处,测得灯塔C在北偏东45°方向上,这时,E处距离港口A有多远?(参考数据:sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75)

【分析】如图作CH⊥AD于H.设CH=xkm,在Rt△ACH中,可得AH=

=

,在Rt△CEH中,可得CH=EH=x,由CH∥BD,推出

=x+5,求出x即可解决问题.

=

由AC=CB,推出AH=HD,可得

【解答】解:如图作CH⊥AD于H.设CH=xkm, 在Rt△ACH中,∠A=37°,∵tan37°=∴AH=

=

在Rt△CEH中,∵∠CEH=45°, ∴CH=EH=x,

∵CH⊥AD,BD⊥AD, ∴CH∥BD, ∴

=

∵AC=CB, ∴AH=HD,

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∴∴x=

=x+5,

≈15,

+15≈35km,

∴AE=AH+HE=

∴E处距离港口A有35km.

【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣﹣方向角问题,结合航海中的实际问题,将解直角三角形的相关知识有机结合,体现了数学应用于实际生活的思想.

26.(8分)(2017?南京)已知函数y=﹣x2+(m﹣1)x+m(m为常数). (1)该函数的图象与x轴公共点的个数是 D . A.0 B.1 C.2 D.1或2

(2)求证:不论m为何值,该函数的图象的顶点都在函数y=(x+1)2的图象上. (3)当﹣2≤m≤3时,求该函数的图象的顶点纵坐标的取值范围. 【分析】(1)表示出根的判别式,判断其正负即可得到结果;

(2)将二次函数解析式配方变形后,判断其顶点坐标是否在已知函数图象即可; (3)根据m的范围确定出顶点纵坐标范围即可.

【解答】解:(1)∵函数y=﹣x2+(m﹣1)x+m(m为常数), ∴△=(m﹣1)2+4m=(m+1)2≥0,

则该函数图象与x轴的公共点的个数是1或2, 故选D;

(2)y=﹣x2+(m﹣1)x+m=﹣(x﹣把x=

代入y=(x+1)2得:y=(

)2++1)2=

, ,

则不论m为何值,该函数的图象的顶点都在函数y=(x+1)2的图象上;

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(3)设函数z=,

当m=﹣1时,z有最小值为0; 当m<﹣1时,z随m的增大而减小; 当m>﹣1时,z随m的增大而增大, 当m=﹣2时,z=;当m=3时,z=4,

则当﹣2≤m≤3时,该函数图象的顶点坐标的取值范围是0≤z≤4.

【点评】此题考查了抛物线与x轴的交点,以及二次函数的性质,熟练掌握二次函数的图象与性质是解本题的关键.

27.(11分)(2017?南京)折纸的思考. 【操作体验】

用一张矩形纸片折等边三角形.

第一步,对折矩形纸片ABCD(AB>BC)(图①),使AB与DC重合,得到折痕EF,把纸片展平(图②).

第二步,如图③,再一次折叠纸片,使点C落在EF上的P处,并使折痕经过点B,得到折痕BG,折出PB、PC,得到△PBC. (1)说明△PBC是等边三角形. 【数学思考】

(2)如图④,小明画出了图③的矩形ABCD和等边三角形PBC,他发现,在矩形ABCD中把△PBC经过图形变化,可以得到图⑤中的更大的等边三角形,请描述图形变化的过程.

(3)已知矩形一边长为3cm,另一边长为a cm,对于每一个确定的a的值,在矩形中都能画出最大的等边三角形,请画出不同情形的示意图,并写出对应的a的取值范围. 【问题解决】

(4)用一张正方形铁片剪一个直角边长分别为4cm和1cm的直角三角形铁片,所需正方形铁片的边长的最小值为

cm.

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【分析】(1)由折叠的性质和垂直平分线的性质得出PB=PC,PB=CB,得出PB=PC=CB即可;

(2)由旋转的性质和位似的性质即可得出答案;

(3)由等边三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理进行计算,画出图形即可;

(4)证明△AEF∽△DCE,得出

=,设AE=x,则AD=CD=4x,DE=AD﹣AE=3x,

在Rt△CDE中,由勾股定理得出方程,解方程即可.

【解答】(1)证明:由折叠的性质得:EF是BC的垂直平分线,BG是PC的垂直平分线,

∴PB=PC,PB=CB, ∴PB=PC=CB,

∴△PBC是等边三角形.

(2)解:以点B为中心,在矩形ABCD中把△PBC逆时针方向旋转适当的角度,得到△P1BC1;

再以点B为位似中心,将△P1BC1放大,使点C1的对称点C2落在CD上,得到△P2BC2; 如图⑤所示;

(3)解:本题答案不唯一,举例如图⑥所示; (4)解:如图⑦所示:

△CEF是直角三角形,∠CEF=90°,CE=4,EF=1, ∴∠AEF+∠CED=90°, ∵四边形ABCD是正方形, ∴∠A=∠D=90°,AD=CD, ∴∠DCE+∠CED=90°,

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∴∠AEF=∠DCE, ∴△AEF∽△DCE, ∴

=,

设AE=x,则AD=CD=4x, ∴DE=AD﹣AE=3x,

在Rt△CDE中,由勾股定理得:(3x)2+(4x)2=42, 解得:x=, ∴AD=4×=故答案为:

; .

【点评】本题是几何变换综合题目,考查了折叠的性质、等边三角形的判定与性质、旋转的性质、直角三角形的性质、正方形的性质、相似三角形的判定与性质、位似的性质等知识;本题综合性强,难度较大.

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