∴DB∥AC．

【点评】本题考查了切线的性质，角平分线的判定，等边三角形的判定和性质，解本题的关键是判断出△ODB是等边三角形．

25．（8分）（2017?南京）如图，港口B位于港口A的南偏东37°方向，灯塔C恰好在AB的中点处，一艘海轮位于港口A的正南方向，港口B的正西方向的D处，它沿正北方向航行5km到达E处，测得灯塔C在北偏东45°方向上，这时，E处距离港口A有多远？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）

【分析】如图作CH⊥AD于H．设CH=xkm，在Rt△ACH中，可得AH=

=

，在Rt△CEH中，可得CH=EH=x，由CH∥BD，推出

=x+5，求出x即可解决问题．

=

，

由AC=CB，推出AH=HD，可得

【解答】解：如图作CH⊥AD于H．设CH=xkm， 在Rt△ACH中，∠A=37°，∵tan37°=∴AH=

=

，

，

在Rt△CEH中，∵∠CEH=45°， ∴CH=EH=x，

∵CH⊥AD，BD⊥AD， ∴CH∥BD， ∴

=

，

∵AC=CB， ∴AH=HD，

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∴∴x=

=x+5，

≈15，

+15≈35km，

∴AE=AH+HE=

∴E处距离港口A有35km．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣﹣方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．

26．（8分）（2017?南京）已知函数y=﹣x2+（m﹣1）x+m（m为常数）． （1）该函数的图象与x轴公共点的个数是 D ． A.0 B.1 C.2 D.1或2

（2）求证：不论m为何值，该函数的图象的顶点都在函数y=（x+1）2的图象上． （3）当﹣2≤m≤3时，求该函数的图象的顶点纵坐标的取值范围． 【分析】（1）表示出根的判别式，判断其正负即可得到结果；

（2）将二次函数解析式配方变形后，判断其顶点坐标是否在已知函数图象即可； （3）根据m的范围确定出顶点纵坐标范围即可．

【解答】解：（1）∵函数y=﹣x2+（m﹣1）x+m（m为常数）， ∴△=（m﹣1）2+4m=（m+1）2≥0，

则该函数图象与x轴的公共点的个数是1或2， 故选D；

（2）y=﹣x2+（m﹣1）x+m=﹣（x﹣把x=

代入y=（x+1）2得：y=（

）2++1）2=

， ，

则不论m为何值，该函数的图象的顶点都在函数y=（x+1）2的图象上；

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（3）设函数z=，

当m=﹣1时，z有最小值为0； 当m＜﹣1时，z随m的增大而减小； 当m＞﹣1时，z随m的增大而增大， 当m=﹣2时，z=；当m=3时，z=4，

则当﹣2≤m≤3时，该函数图象的顶点坐标的取值范围是0≤z≤4．

【点评】此题考查了抛物线与x轴的交点，以及二次函数的性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解本题的关键．

27．（11分）（2017?南京）折纸的思考． 【操作体验】

用一张矩形纸片折等边三角形．

第一步，对折矩形纸片ABCD（AB＞BC）（图①），使AB与DC重合，得到折痕EF，把纸片展平（图②）．

第二步，如图③，再一次折叠纸片，使点C落在EF上的P处，并使折痕经过点B，得到折痕BG，折出PB、PC，得到△PBC． （1）说明△PBC是等边三角形． 【数学思考】

（2）如图④，小明画出了图③的矩形ABCD和等边三角形PBC，他发现，在矩形ABCD中把△PBC经过图形变化，可以得到图⑤中的更大的等边三角形，请描述图形变化的过程．

（3）已知矩形一边长为3cm，另一边长为a cm，对于每一个确定的a的值，在矩形中都能画出最大的等边三角形，请画出不同情形的示意图，并写出对应的a的取值范围． 【问题解决】

（4）用一张正方形铁片剪一个直角边长分别为4cm和1cm的直角三角形铁片，所需正方形铁片的边长的最小值为

cm．

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【分析】（1）由折叠的性质和垂直平分线的性质得出PB=PC，PB=CB，得出PB=PC=CB即可；

（2）由旋转的性质和位似的性质即可得出答案；

（3）由等边三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理进行计算，画出图形即可；

（4）证明△AEF∽△DCE，得出

=，设AE=x，则AD=CD=4x，DE=AD﹣AE=3x，

在Rt△CDE中，由勾股定理得出方程，解方程即可．

【解答】（1）证明：由折叠的性质得：EF是BC的垂直平分线，BG是PC的垂直平分线，

∴PB=PC，PB=CB， ∴PB=PC=CB，

∴△PBC是等边三角形．

（2）解：以点B为中心，在矩形ABCD中把△PBC逆时针方向旋转适当的角度，得到△P1BC1；

再以点B为位似中心，将△P1BC1放大，使点C1的对称点C2落在CD上，得到△P2BC2； 如图⑤所示；

（3）解：本题答案不唯一，举例如图⑥所示； （4）解：如图⑦所示：

△CEF是直角三角形，∠CEF=90°，CE=4，EF=1， ∴∠AEF+∠CED=90°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠A=∠D=90°，AD=CD， ∴∠DCE+∠CED=90°，

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∴∠AEF=∠DCE， ∴△AEF∽△DCE， ∴

=，

设AE=x，则AD=CD=4x， ∴DE=AD﹣AE=3x，

在Rt△CDE中，由勾股定理得：（3x）2+（4x）2=42， 解得：x=， ∴AD=4×=故答案为：

； ．

【点评】本题是几何变换综合题目，考查了折叠的性质、等边三角形的判定与性质、旋转的性质、直角三角形的性质、正方形的性质、相似三角形的判定与性质、位似的性质等知识；本题综合性强，难度较大．

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