即旗杆AB的高度是m．

【点评】此题考查了三角函数的基本概念，主要是正切概念及运算，关键把实际问题转化为数学问题加以计算．

21．图1是某城市三月份1至8日的日最高气温随时间变化的折线统计图，小刚根据图1将数据统计整理后制成了图2．

根据图中信息，解答下列问题： （1）将图2补充完整；

（2）这8天的日最高气温的中位数是 2.5 ℃； （3）计算这8天的日最高气温的平均数．

【考点】折线统计图；条形统计图；算术平均数；中位数． 【分析】（1）从（1）可看出3℃的有3天．

（2）中位数是数据从小到大排列在中间位置的数． （3）求加权平均数数，8天的温度和÷8就为所求． 【解答】解：（1）如图所示．

（2）∵这8天的气温从高到低排列为：4，3，3，3，2，2，1，1 ∴中位数应该是第4个数和第5个数的平均数：（2+3）÷2=2.5．

（3）（1×2+2×2+3×3+4×1）÷8=2.375℃． 8天气温的平均数是2.375．

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【点评】本题考查了折线统计图，条形统计图的特点，以及中位数的概念和加权平均数的知识点．

22．在一副扑克牌中，拿出红桃2、红桃3、红桃4、红桃5四张牌，洗匀后，小明从中随机摸出一张，记下牌面上的数字为x，然后放回并洗匀，再由小华随机摸出一张，记下牌面上的数字为y，组成一对数（x，y）．

（1）用列表法或树状图表示出（x，y）的所有可能出现的结果；

（2）求小明、小华各摸一次扑克牌所确定的一对数是方程x+y=5的解的概率；

（3）小明、小华玩游戏，规则如下：组成数对和为偶数小明赢，组成数对和为奇数小华赢．你认为这个游戏公平吗？若不公平，请重新设计一个对小明、小华都公平的游戏． 【考点】游戏公平性；列表法与树状图法．

【分析】（1）依据题意用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果即可． （2）从数对中找出方程x+y=5的解，然后根据概率公式求出该事件的概率即可解答； （3）根据游戏的公平性进行解答即可． 【解答】解：（1）分析题意，列表得： 红桃2 红桃3 红桃4 红桃5 红桃2 2，2 2，3 2，4 2，5 红桃3 3，2 3，3 3，4 3，5 红桃4 4，2 4，3 4，4 4，5 红桃5 5，2 5，3 5，4 5，5 所以共有16种等可能的结果； （2）满足所确定的一对数是方程x+y=5的解的结果有4种：（2，3）（3，2）， 此事件记作A，则P（A）=

；

（3）组成数对和为偶数的概率=，组成数对和为奇数的概率=，所以游戏公平．

【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

23．如图，在矩形ABCD中，E是BC边上的点，AE=BC，DF⊥AE，垂足为F，连接DE． （1）求证：△ABE≌△DFA；

（2）如果AD=10，AB=6，求sin∠EDF的值．

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【考点】矩形的性质；直角三角形全等的判定；勾股定理；解直角三角形． 【专题】综合题．

【分析】（1）根据矩形的对边平行且相等得到AD=BC=AE，∠DAF=∠EAB．再结合一对直角相等即可证明三角形全等；

（2）根据全等三角形的对应边相等以及勾股定理，可以求得DF，EF的长；再根据勾股定理求得DE的长，运用三角函数定义求解．

【解答】（1）证明：在矩形ABCD中，BC=AD，AD∥BC，∠B=90°， ∴∠DAF=∠AEB． ∵DF⊥AE，AE=BC， ∴∠AFD=90°，AE=AD． ∴△ABE≌△DFA．

（2）解：由（1）知△ABE≌△DFA． ∴AB=DF=6． 在直角△ADF中，AF=∴EF=AE﹣AF=AD﹣AF=2． 在直角△DFE中，DE=

， ，

∴sin∠EDF=．

【点评】熟练运用矩形的性质和判定，能够找到证明全等三角形的有关条件；

运用全等三角形的性质和勾股定理求得三角形中的边，再根据锐角三角函数的概念求解．

24．某公园的门票每张10元，为了吸引更多的游客，该公园管理除保留原来的售票方法外，还推出了一种“购买年卡”的优惠方法，年卡分为A、B、C三种：A卡每张120元，持卡进入不用再买门票；B卡每张60元，持卡进入公园需要再买门票，每张2元；C卡每张30元，持票进入公园时，购买每张4元的门票．

（1）如果你只选择一种购买门票的方式，并且你计划在一年中用100元花在去该公园玩的门票上，请问哪种购票方式可使你进入该公园的次数最多？

（2）求一年中进入该公园至少多少次，购买A类年票比较合算． 【考点】一元一次不等式的应用．

【分析】（1）由题意可知：若直接买票可以买到100÷10=10张；若买A类票，则100＜120，买不到；若买B类票，则剩余100﹣60=40元，可以买到40÷2=20张票；若买C类票，则剩余100﹣30=70元，可以买到70÷4≈17张；所以用100元花在公园门票上，买B类票次数最多；

（2）设一年中进入该公园至少x次时，购买A类票比较合算，根据购买A类年票才比较合算说明购B和C票花的钱多余购A票花的钱，购B票花的钱为60+2x，购C票花的钱为30+4x，列出不等式组，求出x的取值范围，即可得出答案．

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【解答】解：（1）①直接买票：100÷10=10张； ②A类不够买120＞100；

③B类（100﹣60）÷2=20（张）；

④C类（100﹣30）÷4=，即可买17张．

综上所述，用100元购买B类票使你进入该公园的次数最多；

（2）设一年中进入该公园至少x次时，购买A类票比较合算，

根据题意得：，

解得：x＞30．

答：一年中进入该公园至少31次，购买A类年票比较合算．

【点评】本题考查一元一次不等式组的应用，解决问题的关键是读懂题意，依题意列出不等式进行求解．

25．如图，已知抛物线y1=

+bx+c和直线y2=kx+h都经过A（1，0），B（﹣2，3）两点．

（1）求抛物线y1及直线y2的解析式；根据图象，写出+bx+c≥kx+h的x的取值范围．

（2）点P是抛物线上一动点，在直线AB的下方，当点P与点A、B围成的△PAB的面积最大时，请求出P点坐标；

（3）抛物线上是否存在一点M，使△MAB的面积与△OAB相等？若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由．

【考点】二次函数综合题．

【分析】（1）由抛物线和直线均过点A、B，由待定系数法即可求出二者的解析式；

（2）寻找与直线AB平行的直线l，使l与抛物线相切于点P时，△PAB的面积，由△=0可求出直线l的解析式，代入即可求出P点的值；

（3）假设存在，由△MAB的面积与△OAB相等可知点M与点O到直线AB的距离相等，结合点到直线的距离即可求出点M的坐标． 【解答】解：（1）∵抛物线y1=

+bx+c和直线y2=kx+h都经过A（1，0），B（﹣2，3）两点，

∴有和，

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解得：和．

故抛物线的解析式为y1=﹣x+，直线的解析式为y2=﹣x+1． 结合函数图象可知：当x≤﹣2和x≥1时，抛物线图象在直线上方， 故+bx+c≥kx+h的x的取值范围为x≤﹣2或x≥1．

（2）设过点P并且与直线AB平行的直线l的解析式为y=﹣x+d， 当直线l与抛物线只有一个交点P时，△PAB的面积最大． 将y=﹣x+d代入到抛物线解析式y1=

﹣x+中得：

﹣x+d=﹣x+，即x2

+x+1﹣3d=0．

由方程只有一个根，故△=12

﹣4×（1﹣3d）=0， 解得：d=，

当d=时，方程x2

+x+1﹣==0，

解得x=﹣． 令x=﹣，则y=

﹣

+=．

故点P的坐标为（﹣，）．

（3）假设存在，设M点的坐标为（m，﹣m+）， 直线AB的解析式为y2=﹣x+1，即x+y2﹣1=0， ∵△MAB的面积与△OAB相等，

∴点M与点O到直线AB的距离相等，

由点到直线的距离可知： =，

当m＜﹣2时，有m2

+m﹣5=0，

解得：m=或m=（舍去），

此时点M的坐标为（

，）；

当﹣2≤m≤1时，有m2

+m+1=0，

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方程无解；

2

当m＞1时，有m+m﹣5=0，

解得：m=（舍去）或m=，

此时点M的坐标为（，）．

综上可知：抛物线上存在一点M，使△MAB的面积与△OAB相等，点M的坐标为（，）

或（，）．

【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式、直线与抛物线相切以及点到直线的距离，解题的关键是：（1）待定系数法求函数解析式；（2）利用根的判别式解决相切问题；（3）由点M与点O到直线AB的距离相等得出关于m的一元二次方程．本题属于中档题，有点难度，（1）难度不大；（2）需借助直线与抛物线相切来寻找最值；（3）由同底三角形面积相等得出等高．

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