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第一讲：函数与数列的极限的强化练习题答案
一、单项选择题
1．下面函数与y?x为同一函数的是（ ） A.y??x?2 B.y?x2 C.y?elnx D.y?lnex
解：Qy?lnex?xlne?x，且定义域
???,???， ∴选D
2．已知?是f的反函数，则f?2x?的反函数是（ ）
A.y?12??x? B.y?2??x?
C.y?12??2x? D.y?2??2x?
解:令y?f?2x?,反解出x：x?12??y?,互
换x，y位置得反函数y?12??x?，选A
3．设f?x?在???,???有定义，则下列函数为奇函数的是（ ）
A.y?f?x??f??x?B.y?x??f?x??f??x??? C.y?x3f?x2?
D.y?f??x??f?x?
解：Qy?x3f?x2?的定义域???,???且
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y??x????x?3f?x2???x3f?x2???y?x?∴选C
4．下列函数在???,???内无界的是（ ）
A.y?11?x2 B.y?arctanx C.y?sinx?cosx D.y?xsinx
解: 排除法：A
x1?x2?x2x?12有界，Barctanx??2有界，C sinx?cosx?2 故选D 5．数列?xn?有界是limxn存在的（ ）
n??A 必要条件 B 充分条件 C 充分必要条件 D 无关条件 解：Q?xn?收敛时，数列xn有界（即
x，反之不成立，（如??1?1n?M）
?n??有界，
但不收敛，
选A 6．当n??时，sin21n与1nk为等价无穷小，则k= （ ）
A
12 B 1 C 2 D -2 sin211解：
Qlimnn??1?limn2n??1?1，k?2 选C nknk二、填空题（每小题4分，共24分） 7．设f?x??11?x，则f??f?x???的定义域为
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解： ∵f??f?x????111?f?x??
1?11?xx??1?1?x2?x ∴f??f?x???定义域为
(??,?2)?(?2,?1)?(?1,??)
8．设f(x?2)?x2?1, 则f(x?1)?
解：（1）令x?2?t,f?t??t2?4t?5
f?x??x2?4x?5
（2）f?x?1??(x?1)2?4(x?1)?5?x2?6x?10
9．函数y?log4x?log42的反函数是
解：（1）y?logx?42y?14(2x)，反解出x：
（2）互换x,y位置，得反函数y?42x?1
10．limn??n?n?1?n?2??
解：原式
有理化lim3n n??n?1?n?2?32?5??kn11．若lim
n????1?n???e?10,则k? 解：左式=
enlim5??n(?kn)?e?5k?e?10 故
k?2
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12．lim3n2?5n??5n?3sin2n= 解：Q当n??时，sin22n～n ∴原式=lim3n2?5n??5n?3?2n= 65 三、计算题（每小题8分，共64分）
arcsin2x?113．求函数y?7的定义域 x?1?解：Q??1?2x?1?1?7??x?1?0?x3??1x?4或x??1 ??
∴函数的定义域为??3,?1)??1,4? 14．设f??sinx??2???1?cosx 求f?x? 解：Qf??sinx???2cos2x?2?2?2??1?sin2x??2??
?f???2??1???2??
故f?x??2?1?x2?
15．设f?x??lnx，g?x?的反函数
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g?1?x??2?x?1?x?1，求f?g?x??
解: （1） 求g(x):Qy?2xx??12 ∴反
解出
x：xy?y?2x?2x?y?2y?2
互换x,y位置得g(x)?x?2x?2 (2)f??g?x????lng?x??lnxx??22
16．判别f?x??ln?x?1?x2?的奇偶性。 解法（1）：f?x?的定义域???,???，关于原点对称
f??x??ln??x?1?x2?
?ln1
1?x2?x?ln?x?1?x2??1??ln(x?1?x2)
??f?x?
?f?x??ln(x?1?x2)为奇函数
解法（2）：Qf?x??f??x?
?ln(x?1?x2)?ln??x?1?x2? ?ln???(x?1?x2)?1?x2?x?????ln1?0
?f??x???f?x? 故f?x?为奇函数
17．已知f?x?为偶函数，g?x?为奇函数，且f?x??g?x??1x?1，求f?x?及g?x? . 下载可编辑 .
解： 已知f(x)?g(x)?1x?1???? Qf(?x)?g(?x)?1?x?1即有 f(x)?g(x)??1x?1??2? ??????2?得2f?x??1x?1?1x?1 故 f(x)?1x2?1
?????2?得2g?x??1x?1?1x?1 故g(x)?xx2?1
n18．设lim3n????n?2a??n?a???8，求a的值。 3n解： Qlim?n?2a?n?3a?3n????n?a???limn????1?n?a???enlimna??n?a?ea,?ea?8
故a?ln8?3ln2
n19．求lim?1n?????1?2?12?3???1?n?n?1??? ?解：（1）拆项，
1k(k?1)?k?1?k(k?1)k
?1k?1k?1k?1,2,?,n 111?2?2?3???1n?n?1? ???1?1?1?2?????1?2?1?3??????1?n??n?1??
?1?1n?1 Q