2012学年嘉定区高三年级第一次质量调研数学 下载本文

(2)求三棱锥P?ABC的表面积S.

21.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.

已知椭圆C:

x2y2?2?12ab?(a?b?0)经过(1,1)与??63??,2??2?两点,过原

点的直线l与椭圆C交于A、B两点,椭圆C上一点M满足|MA|?|MB|.

(1)求椭圆C的方程; (2)求证:

22.(本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分6分.

设数列{a}的前n项和为S,已知S?pS?q(n?N,p、q为常

*nnn?1n112??|OA|2|OB|2|OM|2M A 为定值. x O B y

数),a1?2,a2?1,a3?q?3p.

(1)求p、q的值;

(2)求数列{a}的通项公式;

n(3)是否存在正整数m,n,使得

Sn?m2m?mSn?1?m2?1成立?若存在,

请求出所有符合条件的有序整数对(m,n);若不存在,请说明理由.

23.(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分.

设a?R,函数f(x)?x?|x?a|?2x.

(1)若a?2,求函数f(x)在区间[0,3]上的最大值; (2)若a?2,写出函数f(x)的单调区间(不必证明); (3)若存在a?[?2,4],使得关于x的方程f(x)?t?f(a)有三个不相等的实数解,求实数t的取值范围.

上海市嘉定区2013届高三一模数学试题(理科)

参考答案与评分标准

一.填空题(每小题4分,满分56分)

1.2?i 2.{x?2?x??1} 3.? 4.2

510?7115.? 7. ?,? 6.473158.9.

??3?R3241y?x2?24

2 10.2 11.1 12.213.45 14.[1,2)

二.选择题(每小题5分,满分20分) 15.A 16.C 17.B 18.D

三.解答题 19.(本题满分12分)

方程x?2x?2?0的根为x?1?i.………………(3分)

因为z在复平面内对应的点在第一象限,所以z?1?i,………………(5分)

a?4sin??112?cos?????所以?,解得,因为,所以,……(8??(0,?)?232(1?cos?)?1222?分)

所以sin

2??34,所以a2?1?4sin2??4,故a??2.…………(11分)

?所以???3,a??2.…………(12分)

20.(本题满分14分,第1小题8分,第2小题6分) P (1)取PA中点E,PB中点F,BC中点G, F

E 连结EF,FG,EG,则EF∥AB,FG∥A PC, G 所以?EFG就是异面直线AB与PC所成的角(或 C

B

其补角).…………(2分) 连结AG,则AG?

AC2?CG2?5,……(3分)

EG?EA2?AG2?6, …………(4分)

2又AB?PC?22,所以EF?FG?在△EFG中,

.…………(5分)

,……(7分)

EF2?FG2?EG21cos?EFG???2EF?FG2故?EFG?120?.所以异面直线AB与PC所成角的大小为60?.…………(8分)

(2)因为PA?底面ABC,所以PA?AB,PA?BC,PA?AC, 又BC?AC,所以BC?平面PAC,所以BC?PC,…………(2分) 所以△ABC、△PAB、△PBC、△PAC都是直角三角形.……(3分)

111所以,S?1AC?BC?PA?AB?BC?PC?PA?AC?4?42.……(6分) 222221.(本题满分14分,第1小题6分,第2小题8分) (1)将(1,1)与

1?1??122??ab??3?3?1??2a24b2?63????2,2???代入椭圆C的方程,得

M ,…………(2分)

3b?22y A 解得a2?3,

B .…………(5分) x22y2??133O x 所以椭圆C的方程为.…………(6分)

(2)由|MA|?|MB|,知M在线段AB的垂直平分线上, 由椭圆的对称性知A、B关于原点对称.

①若点A、B在椭圆的短轴顶点上,则点M在椭圆的长轴顶点上,此时

1121121?1??????2??2|OA|2|OB|2|OM|2b2b2a2b2?a???2?.……(1分)

同理,若点A、B在椭圆的长轴顶点上,则点M在椭圆的短轴顶点上,此时

1121121??1??????2??2?22?|OA|2|OB|2|OM|2a2a2b2ab??.……(2分)

②若点A、B、M不是椭圆的顶点,设直线l的方程为y?kx(k?0), 则直线OM的方程为y??1x.设A(xk由

?y?kx?2?x2y2?1??3?321,y1),M(x2,y2),

,解得

2213x?1?2k221,

3k2y?1?2k221,……(4分)

3(1?k2)|OM|?2?k22所以所以

3(1?k2)|OA|?|OB|?x?y?1?2k221,同理可得,

1121?2k21?2k22(2?k2)??????2222222|OA||OB||OM|3(1?k)3(1?k)3(1?k)?12?|OB|2|OM|2.……(7分)

1综上,|OA|2为定值2.…………(8分)

22.(本题满分16分,第1小题4分,第2小题6分,第3小题6分)

S(1)由题意,得??S?23?pa1?q?pS2,……(2分) ?q .…………(4分) ①

?1a12即

?3?2p?q??3?q?3p?3p?q ,解得

n?1(2)由(1)知,S当n?2时,S①-②,得

n1?p??2???q?21?Sn?221Sn?1?2n21an?1?an2? ② …………(1分)

2(n?2),又an?2,…………(3分) ).…………(6分)

所以数列{a}是首项为2,公比为1的等比数列.…………(4分) 2所以{a}的通项公式为

n(3)由(2),得由

Sn?m2m?Sn?1?m2m?1?,得

12m?1?1?n?N*an????2?1??Sn?4?1?n??2?1??4?1?n??m2m?2??m1?2?1?4?1?n?1??m?2?(

,…………(1分)

,即

(4?m)?2n?42m?(4?m)?2n?22m?1n,

即(4?m)2?2

n?2.因为2m?1?0,所以(4?m)?2?2,