（2）求三棱锥P?ABC的表面积S．

21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．

已知椭圆C：

x2y2?2?12ab?（a?b?0）经过(1,1)与??63??,2??2?两点，过原

点的直线l与椭圆C交于A、B两点，椭圆C上一点M满足|MA|?|MB|．

（1）求椭圆C的方程； （2）求证：

22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．

设数列{a}的前n项和为S，已知S?pS?q（n?N，p、q为常

*nnn?1n112??|OA|2|OB|2|OM|2M A 为定值． x O B y

数），a1?2，a2?1，a3?q?3p．

（1）求p、q的值；

（2）求数列{a}的通项公式；

n（3）是否存在正整数m，n，使得

Sn?m2m?mSn?1?m2?1成立？若存在，

请求出所有符合条件的有序整数对(m,n)；若不存在，请说明理由．

23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．

设a?R，函数f(x)?x?|x?a|?2x．

（1）若a?2，求函数f(x)在区间[0,3]上的最大值； （2）若a?2，写出函数f(x)的单调区间（不必证明）； （3）若存在a?[?2,4]，使得关于x的方程f(x)?t?f(a)有三个不相等的实数解，求实数t的取值范围．

上海市嘉定区2013届高三一模数学试题（理科）

参考答案与评分标准

一．填空题（每小题4分，满分56分）

1．2?i 2．{x?2?x??1} 3．? 4．2

510?7115．? 7． ?,? 6．473158．9．

??3?R3241y?x2?24

2 10．2 11．1 12．213．45 14．[1,2)

二．选择题（每小题5分，满分20分） 15．A 16．C 17．B 18．D

三．解答题 19．（本题满分12分）

方程x?2x?2?0的根为x?1?i．………………（3分）

因为z在复平面内对应的点在第一象限，所以z?1?i，………………（5分）

a?4sin??112?cos?????所以?，解得，因为，所以，……（8??(0,?)?232(1?cos?)?1222?分）

所以sin

2??34，所以a2?1?4sin2??4，故a??2．…………（11分）

?所以???3，a??2．…………（12分）

20．（本题满分14分，第1小题8分，第2小题6分） P （1）取PA中点E，PB中点F，BC中点G， F

E 连结EF，FG，EG，则EF∥AB，FG∥A PC， G 所以?EFG就是异面直线AB与PC所成的角（或 C

B

其补角）．…………（2分） 连结AG，则AG?

AC2?CG2?5，……（3分）

EG?EA2?AG2?6， …………（4分）

2又AB?PC?22，所以EF?FG?在△EFG中，

．…………（5分）

，……（7分）

EF2?FG2?EG21cos?EFG???2EF?FG2故?EFG?120?．所以异面直线AB与PC所成角的大小为60?．…………（8分）

（2）因为PA?底面ABC，所以PA?AB，PA?BC，PA?AC， 又BC?AC，所以BC?平面PAC，所以BC?PC，…………（2分） 所以△ABC、△PAB、△PBC、△PAC都是直角三角形．……（3分）

111所以，S?1AC?BC?PA?AB?BC?PC?PA?AC?4?42．……（6分） 222221．（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） （1）将(1,1)与

1?1??122??ab??3?3?1??2a24b2?63????2,2???代入椭圆C的方程，得

M ，…………（2分）

3b?22y A 解得a2?3，

B ．…………（5分） x22y2??133O x 所以椭圆C的方程为．…………（6分）

（2）由|MA|?|MB|，知M在线段AB的垂直平分线上， 由椭圆的对称性知A、B关于原点对称．

①若点A、B在椭圆的短轴顶点上，则点M在椭圆的长轴顶点上，此时

1121121?1??????2??2|OA|2|OB|2|OM|2b2b2a2b2?a???2?．……（1分）

同理，若点A、B在椭圆的长轴顶点上，则点M在椭圆的短轴顶点上，此时

1121121??1??????2??2?22?|OA|2|OB|2|OM|2a2a2b2ab??．……（2分）

②若点A、B、M不是椭圆的顶点，设直线l的方程为y?kx（k?0）， 则直线OM的方程为y??1x．设A(xk由

?y?kx?2?x2y2?1??3?321,y1)，M(x2,y2)，

，解得

2213x?1?2k221，

3k2y?1?2k221，……（4分）

3(1?k2)|OM|?2?k22所以所以

3(1?k2)|OA|?|OB|?x?y?1?2k221，同理可得，

1121?2k21?2k22(2?k2)??????2222222|OA||OB||OM|3(1?k)3(1?k)3(1?k)?12?|OB|2|OM|2．……（7分）

1综上，|OA|2为定值2．…………（8分）

22．（本题满分16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分）

S（1）由题意，得??S?23?pa1?q?pS2，……（2分） ?q ．…………（4分） ①

?1a12即

?3?2p?q??3?q?3p?3p?q ，解得

n?1（2）由（1）知，S当n?2时，S①－②，得

n1?p??2???q?21?Sn?221Sn?1?2n21an?1?an2? ② …………（1分）

2（n?2），又an?2，…………（3分） ）．…………（6分）

所以数列{a}是首项为2，公比为1的等比数列．…………（4分） 2所以{a}的通项公式为

n（3）由（2），得由

Sn?m2m?Sn?1?m2m?1?，得

12m?1?1?n?N*an????2?1??Sn?4?1?n??2?1??4?1?n??m2m?2??m1?2?1?4?1?n?1??m?2?（

，…………（1分）

，即

(4?m)?2n?42m?(4?m)?2n?22m?1n，

即(4?m)2?2

n?2．因为2m?1?0，所以(4?m)?2?2，