第二章 条件概率与统计独立性

1、字母M，A，X，A，M分别写在一张卡片上，充分混合后重新排列，问正好得到顺序MAAM的概率是多少？

2、有三个孩子的家庭中，已知有一个是女孩，求至少有一个男孩的概率。

3、若M件产品中包含m件废品，今在其中任取两件，求：（1）已知取出的两件中有一件是废品的条件下，另一件也是废品的条件概率；（2）已知两件中有一件不是废品的条件下，另一件是废品的条件概率；（3）取出的两件中至少有一件是废品的概率。

4、袋中有a只黑球，b吸白球，甲乙丙三人依次从袋中取出一球（取后来放回），试分别求出三人各自取得白球的概率（b?3）。

5、从{0，1，2，…，9}中随机地取出两个数字，求其和大于10的概率。

6、甲袋中有a只白球，b只黑球，乙袋中有?吸白球，?吸黑球，某人从甲袋中任出两球投入乙袋，然

后在乙袋中任取两球，问最后取出的两球全为白球的概率是多少？

7、设的N个袋子，每个袋子中将有a只黑球，b只白球，从第一袋中取出一球放入第二袋中，然后从第

二袋中取出一球放入第三袋中，如此下去，问从最后一个袋子中取出黑球的概率是多少？

8、投硬币n回，第一回出正面的概率为c，第二回后每次出现与前一次相同表面的概率为p，求第n回

时出正面的概率，并讨论当n??时的情况。

9、甲乙两袋各将一只白球一只黑球，从两袋中各取出一球相交换放入另一袋中，这样进行了若干次。以

pn，qn，rn分别记在第n次交换后甲袋中将包含两只白球，一只白球一只黑球，两只黑球的概率。试导出pn+1，qn+1，rn+1用pn，qn，rn表出的关系式，利用它们求pn+1，qn+1，rn+1，并讨论当n??时的情况。

?apn,n?1,?ap10、设一个家庭中有n个小孩的概率为 pn?? 1?,n?0,??1?p这里0?p?1,0?a?(1?p)/p。若认为生一个小孩为男孩可女孩是等可能的，求证一个家庭有

k(k?1)个男孩的概率为2apk/(2?p)k?1。

11、在上题假设下：（1）已知家庭中至少有一个男孩，求此家庭至少有两个男孩的概率；

（2）已知家庭中没有女孩，求正好有一个男孩的概率。

12、已知产品中96%是合格品，现有一种简化的检查方法，它把真正的合格品确认为合格品的概率为0.98，

而误认废品为合格品的概率为0.05，求在简化方法检查下，合格品的一个产品确实是合格品的概率。 13、设A，B，C三事件相互独立，求证A?B,AB,A?B皆与C独立。

14、若A，B，C相互独立，则A,B,C亦相互独立。 15、证明：事件

A1,A2,?,An相互独立的充要条件是下列2n个等式成立：

?A???)P(A?)?P(A?)， P(A12?An)?P(A12n?取Ai或Ai。 其中Ai16、若A与B独立，证明{?,A,A,?}中任何一个事件与{?,B,B,?}中任何一个事件是相互独立的。 17、对同一目标进行三次独立射击，第一，二，三次射击的命中概率分别为0.4，0.5，0.7，试求（1）在

这三次射击中，恰好有一次击中目标的概率；（2）至少有一次命中目标的概率。

18、设A1,A2,?,An相互独立，而P(Ak)?pk，试求：（1）所有事件全不发生的概率；（2）诸事件中

至少发生其一的概率；（3）恰好发生其一的概率。

19、当元件k或元件k1或k2都发生故障时电路断开，元件k发生故障的概率等于0.3，而元件k1，k2

发生故障的概率各为.2，求电路断开的概率。

20、说明“重复独立试验中，小概率事件必然发生”的确切意思。

21、在第一台车床上制造一级品零件的概率等于0.7，而在第二台车床上制造此种零件的概率等于0.8，

第一台车床制造了两个零件，第二台制造了三个零件，求所有零件均为一级品的概率。

22、掷硬币出现正面的概率为p，掷了n次，求下列概率：（1）至少出现一次正面；（2）至少出现两次

正面。

23、甲，乙，丙三人进行某项比赛，设三个胜每局的概率相等，比赛规定先胜三局者为整场比赛的优胜

者，若甲胜了第一，三局，乙胜了第二局，问丙成为整场比赛优胜者的概率是多少？ 24、甲，乙均有n个硬币，全部掷完后分别计算掷出的正面数相等的概率。

25、在贝努里试验中，事件A出现的概率为p，求在n次独立试验中事件A出现奇数次的概率。 26、在贝努里试验中，若A出现的概率为p，求在出现m次A之前出现k次A的概率。

27、甲袋中有N?1只白球和一只黑球，乙袋中有N只白球，每次从甲，乙两袋中分别取出一只球并交

换放入另一袋中去，这样经过了n次，问黑球出现在甲袋中的概率是多少？并讨论n??时的情况。 28、某交往式计算机有20个终端，这些终端被各单位独立操作，使用率各为0.7，求有10个或更多个终

端同时操作的概率。

29、设每次射击打中目标的概率等于0.001，如果射击5000次，试求打中两弹或两弹以上的概率。 30、假定人在一年365日中的任一日出生的概率是一样的，在50个人的单位中有两面三刀个以上的人生

于元旦的概率是多少？

31、一本500页的书，共有500个错字，每个字等可能地出现在每一页上，试求在给定的一页上至少有

三个错字的概率。

32、某疫苗中所含细菌数服从普阿松分布，每1毫升中平均含有一个细菌，把这种疫苗放入5只试管中，

每试管放2毫升，试求：（1）5只试管中都有细菌的概率；（2）至少有3只试管中有细菌的概率。 33、通过某交叉路口的汽车可看作普阿松过程，若在一分钟内没有车的概率为0.2，求在2分钟内有多于

一车的概率。

34、若每蚕产n个卵的概率服从普阿松分布，参数为?，而每个卵变为成虫的概率为p，且各卵是否变

为成虫彼此间没有关系，求每蚕养出k只小蚕的概率。

35、某车间宣称自己产品的合格率超过99%，检验售货员从该车间的10000件产品中抽查了100件，发

现有两件次品，能否据此断定该车间谎报合格率？

36、在人群中男人患色盲的占5%，女人患色盲的占0.25%，今任取一人后检查发现是一个色盲患者，问它是男人的概率有多大? 37、四种种子混在一起，所占的比例是甲：乙：丙：丁=15：20：30：35，各种种子不同的发芽率是： 2%，

3%，4%，5%，已从这批种子中任送一粒观察,结果未发芽，问它是甲类种子的概率是多少? 38、对同一目标由3名射手独立射击的命中率是0.4、0.5,和0.7，求三人同时各射一以子弹而没有一发中

靶的概率? 39、有两个袋子，每个袋子装有a只黑球，b只白球，从第一个中任取一球放入第二个袋中，然后从第

二个袋中取出一黑球的概率是多少？ 40、已知产品中96%是合格的，现有一种简单的检查方法，它把真正的合格品确认为合格品的概率为0.98，

而误认废品为合格品的概率为0.05，求此简化法检查下为合格品的一个产品确实是合格品的概率。 41、某射手用A,B,C三支枪各向靶射一发子弹，假设三支枪中靶的概率分别为0.4,0.3,0.5，结果恰有

两弹中靶，问A枪射中的概率为多少?

42、已知产品中96%是合格的，现有一种简化的检查方法，它把真正的合格品确认为合格品的概率为0.98，而误认废品为合格品的概率为0.05,求此简化法检查下为合格品的一个产品确实是合格品的概率。 43、设第一个盒子中有两个白球和一个黑球，第二个盒中有三个白球和一个黑球，第三个盒子中有两个

白球和两个黑球。此三个盒子外形相同，某人任取一个盒子，再从中任取一个球，求他取得白球的概率。

44、用血清蛋白的方法诊断肝癌，令C?“被检查者患有肝癌”，A?“判断被检查者患有肝癌”。设

求他确有肝癌的概率。 P(C)?0.0004, P(A/C)?0.95,P(A/C)?0.90,现有一个人诊断患有肝癌，

45、一批零件共100个，次品有10个。每次从其中任取1个零件，菜取3次，取出后不放回。示第3

次才取得合格品的概率。 46、10个零件中有3个次品，7个合格品，每次从其中任取1个零件，共取3次，取后不放回。求：（1）

这3次都抽不到合格品的概率；（2）这3次至少有1次抽到合格品的概率。

47、一批产品中有15%的次品。进行独立重复抽样检查，问取出的20个样品中最大可能的次品数是多少？并求其概率。 48、一电话交换台每分钟的呼唤次数服从参数为4的泊松分布。求（1）每分钟恰有6次呼唤的概率；（2）

每分钟呼唤次数不超过10的概率。

49、有一汽车站有大量汽车通过，设每辆汽车在一天某段时间出事故的概率为0.0001。在某天该段时间

内有1000辆汽车通过，求事故次数不少于的概率。 50、某商店出售某种贵重物品，根据以往的经验，每月销售量X服从参数??4的泊松分布。问在月初

进货时，要库存多少件才能以99。2%的概率充分满足顾客的需要？ 51、从某厂产品中任取200件，检查结果发现其中有4件废品。我们能否认为该产品的废品率不超过

0.005？ 52、若A,B,C是三个独立的事件，则A.B.C亦是独立的。 53、设P(A)>0，若A与B相互独立,则P(B|A)=P(B)。 54、若A,B,C相互独立，则A?B和C及A-B与C亦独立。

55、设P(A)>0, P(B)>0， 证明A和B相互独立与A和B互不相容不能同时成立。 56、求证：如果P(A|B)?P(A)，则P(B|A)?P(B)。

57、证明：若事件A与事件B相互独立，则事件A与事件B相互独立。 58、设A，B，C三事件相互独立，求证A?B,AB,A?B皆与C独立。 59、若A，B，C相互独立，则A,B,C亦相互独立。

60、若A与B独立，证明{?,A,A,?}中任何一个事件与{?,B,B,?}中任何一个事件是相互独立的。

第二章 解答

1、解：自左往右数，排第i个字母的事件为Ai，则

P(A1)?2211,P(A2A1)?，P(A3A2A1)?,P(A4A3A2A1)? 5432P(A5A4A3A2A1)?1。

所以题中欲求的概率为

P(A1A2A3A4A5)?P(A1)P?A2A1?P?A3A2A1?P?A4A3A2A1?P?A5A4A3A2A1??

22111 ????1?5432302、解：总场合数为23=8。设A={三个孩子中有一女}，B={三个孩子中至少有一男}，A的有利场合数为7，

AB的有利场合为6，所以题中欲求的概率P（B|A）为

P?BA??P(AB)6/86??.

P(A)7/87

3、解：（1）M件产品中有m件废品，M?m件正品。设A={两件有一件是废品}，B={两件都是废品}，

112222显然A?B，则 P(A)?CmCM?m?Cm/Cm P(B)?Cm/CM，

??题中欲求的概率为

22Cm/CMm?1. P(B|A)?P(AB)/P(A)?P(B)/P(A)?11?22(CmCM?m?Cm)/CM2M?m?1（2）设A={两件中有一件不是废品}，B={两件中恰有一件废品}，显然B?A，则

2112112P(A)?CM?m?CmCM?m/CM, P(B)?CmCM?m/CM.

??题中欲求的概率为

112CmCM2m?m/CM. P(B|A)?P(AB)/P(A)?P(B)/P(A)?2?112(CM?m?CmCM?m)/CMM?m?1（3）P{取出的两件中至少有一件废品}=CmCM?m?Cm/CM?

?112?2m(2M?m?1).

M(M?1)4、解：A={甲取出一球为白球}，B={甲取出一球后，乙取出一球为白球}，C={甲，乙各取出一球后，

丙取出一球为白球}。则 P(A)?a 甲取出的球可为白球或黑球，利用全概率公式得

(a?b)P(B)?P(A)P(B|A)?P(A)P(B|A) ?甲， 乙取球的情况共有四种，由全概率公式得

bb?1abb ????a?ba?b?1a?ba?b?1a?bP(C)?P(AB)P(C|AB)?P(AB)P(C|AB)?P(AB)P(C|AB)?P(AB)P(C|AB)

?b(b?1)b?2abb?1???

(a?b)(a?b?1)a?b?2(a?b)(a?b?1)a?b?2?abb?1a(a?1)b???

(a?b)(a?b?1)a?b?2(a?b)(a?b?1)a?b?2