?P(B)P(C)?P(A)?P(C)?P(AB)?P(ABC) ?P(A)?P(B)?P(C) 证毕

53、证：QA,B独立?P(AB)?P(A)?P(B)从而P(AB)?P(A)?P(B)

由条件概率公式 P(B|A)?P(AB)P(A)?P(B)??P(B)

P(A)P(A)54、证：因为A,B,C相互独立，所以p(AB)?p(A)P(B) p(BC)?P(B)(C)

P(AC)?P(A)(C ) P(ABC)?P(A)(B)(C)

?P((A?B)?C)?P(AC?BC)?P(A)P(C)?P(B)P(C)?P(ABC)?[P(A)?P(B)?P(A)P(B)]P(C)?P(A?B)P(C)P((A\\B)?C)

?P(ACB?P(AC)?P(ABC)?P(A)P(C)?P(A)P(B)P(C)?P(A)(1?P(B))P(C)?P(A)P(B)P(C)?P(A\\B)P(C)??

55、证：若A与B相互独立，即 P(AB) ? P(A)P(B)，从而P(AB)?0，于是A与B相容。反之,

若A与B互不相容, 即P(AB) ? 0

则P(AB)?P(A)P(B)?0 于是A与B不相互独立.

56、证： 由P(A|B)?P(A) 那么: P(AB)?P(A|B)P(B)?P(A)P(B)

于是 P(B|A)?

P(AB)?P(B)

P(A)57、证：若事件A与B独立，则P(AB)?P(A)P(B)

P(AB)?P(A?B)?1?P(A?B) ?1-(P(A)?P(B)-P(AB)

?1-P(A)-P(B)?P(A)P(B) ?(1-P(A))(1-P(B)) ?P(A)P(B)

58、证：（1）P((A?B)?C)?P(AC?BC)?P(AC)?P(BC)?P(ABC)

?P(A)P(C)?P(B)P(C)?P(A)P(B)P(C) ?P(C)[P(A)?P(B)?P(AB)]?P(C)P(A?B)，

∴A?B与C独立。

（2）P(ABC)?P(A)P(B)P(C)?P(AB)P(C) ∴AB与C独立。

（3）P((A?B)C)?P(ABC)?P(AC(??B))?P(AC)?P(ABC) ?P(A)P(C)?P(A)P(B)P(C)

?P(C)[P(A)?P(AB)]?P(C)P(A?B)，

∴A?B与C独立。

59、证：P(AB)?P(A?B)?1?P(A?B)?1?[P(A)?P(B)?PAB)]

1?P(B)) ?1?P(A)?P(B)?P(A)P(B)?(1?P(A))( ?P(A)P(B)， 同理可证 P(AC)?P(A)P(C),

P(BC)?P(B)P(C).

又有

P(ABC)?P(A?B?C)?1?P(A?B?C)

?1??P(A)?P(B)?P(C)?P(AB)?P(AC)?P(BC)?P(ABC)?

?1?P(A)?P(B)?P(C)?P(A)P(B)?P(A)P(C)?P(B)P(C)

?P(A)P(B)P(C)

?(1?P(A))(1?P(B))(1?P(C))?P(A)P(B)P(C)，

所以A,B,C相互独立。

60、证：P(??)?P(?)?0?0?P(?)P(?),

P(??)?0?P(?)P(?),P(??)?1?P(?)P(?), 同理可得P(?B)?P(B)?P(?)P(B), P(?A)?P(A)?P(?)P(A),

P(AB)?P(A)P(B)（见本章第17题），

P(AB)?P(A?AB)?P(A)?P(AB)?P(A)?P(A)P(B) ?P(A)(1?P(B))?P(A)P(B)， P(AB)?P(A)P(B)。证毕。