共 一 页第 1 页

1．设A,B为两个事件，已知P(A)?0.5,P(B)?0.4，P(A?B)?0.7,则P(AB)? ．

P{X?Y?2}。

a其中a为常数，则P{X?3}?______. (k?1,2,3,)，k2?e?x,x?0,23．设连续型随机变量X的密度函数为f(x)??，则方程x?4x?X?0无实根的

?0,x?0,2．设离散型随机变量的分布律为P{X?k}?概率为 ．

4．设X,Y为两个相互独立随机变量，且X~P(2),Y~U(1,4)，则D(X?2Y+4)?______． 5．设总体X~N(?,?),其中参数?,?均未知，现在对X进行16次独立观察，得样本均值和样 本方差的观察值分别为x?3.4,s?0.25，则总体均值?的置信度为0.95的置信区间为 ． （t0.05(15)?1.7531,t0.05(16)?1.7459,t0.025(15)?2.1315,t0.025(16)?2.1199） 1．设A与B是两个事件，如果P(AB)?0，则（ ）．

（A）A与B是互斥的 （B）A与B相互独立

（C）AB未必是不可能事件 （D）P(A)?0或P(B)?0 2．设随机变量X~N(?,?)，则P{X???2?}（ ）

(A)与?无关，与?有关 (B)与?有关，与?无关 (C) 与?及?均无关 (D)与?及?均有关

2222??101??0,X?0,??1,X?0,六、设离散型随机变量X~?111?，记U?? V??（1）求随机变量U与V??,X?0,???1?1,X?0,632??的分布律；（2）求(U,V)的联合分布律；（3）求U,V的相关系数，并判别U,V是否不相关． ?1??x2?e,x?0七、设随机变量X的概率密度函数为f(x,?)???2，X1,,Xn为X的简单随机样本，试

?0,x?0??；?；?2是否为?2的无偏估计．求：（１）参数?的矩估计?（２）?的极大似然估计?（３）判别?（本题

MLL12分） 八、设(X1,X2,19192,X11)是来自正态总体N(0,?)的样本，X=?Xi， S??(Xi?X)2，若

9i?18i?12T?C

X?X108S?X

2211~t(9)的分布，试求常数C的值．

f2(y)与F1(x)、F2(y)分别是对应的概率密度函数与分布函数，3．设X与Y是两个随机变量，f1(x)、f2(y)连续，则以下函数中仍是概率密度函数的是（ ）且f1(x)、．

（A） f1(x)+f2(x) （B）f1(x)F2(x)?f2(x)F1(x) （C） f1(x)f2(x) （D） f1(x)F1(x)?f2(x)F2(x)

4．设随机变量X,Y的方差存在,则随机变量U?X?Y与V?X?Y不相关的充分必要条件是（ ）．

(A) E(X)?E(Y) (B) D(X)?D(Y)

222222 (C) E(X)?E(Y) (D) E(X)?[E(X)]?E(Y)?[E(Y)] 5．设X1,X2,,Xn是来自总体XN(?,?)的样本，为使Y?k?(Xi?1?Xi)2成为总

2n?1i?1体方差的无偏估计，则应选k为（ ）.

1111 (B) (C) (D)

2(n?1)n?1n2n三、每次试验事件A发生的概率是0.5，现进行4次独立重复的试验，如果事件A一次也不发生，则事件B也不发生；如果A发生一次，则事件B发生的概率为0.6，如果A发生两次或两次以上，则事件B一定发生．（１）试求事件B发生的概率；（２）若已知事件B发生了，求事件A发生一次的概率。

k1+x）,?1?x?1,?（四、设连续型随机变量X的概率密度函数为f(x)??求：（1）常数k的值；

其他,?0，12（2）X的分布函数；（3）概率P{?2?X?}；（4）Y?2X?1的概率密度函数fY(y)。

2?xe?y,0?x?y五、设二维连续型随机变量(X,Y)的联合密度函数为f(x,y)??

其他?0,(A)

（1）求X,Y的边缘密度函数fX(x),fY(y)；（2）判别X与Y的相互独立性，并说明理由；（3）求概率

一

1.P(AB)?P(A?B)?P(B)?0.3 ； 2.a?1,P{X?3}?1?P{X?1}?P{X?2}?3.p?P{X?4}?e；

4. D(X?2Y+4)?D(X)?4D(Y)?5; 5.(x??41; 4st0.025(15))?(3.4?0.2664)?(3.1336,3.6664)。 16二

1.C；2.A；3.D；4.B；5.C。 三 解：（１）设A0：A一次也没有发生，A1：A发生一次，A2：A至少发生两次，则

A0，A1，A2是一个完备事件组，由全概率公式有

111167?0?4??0.6?(1??4?)?1?； 1616161680i?03P(A1)P(B|A1)2012（２）P(A1|B)???.

6767P(B)80P(B)??P(Ai)P(B|Ai)?四

2?0解：（１）U~?1???6k12解：（１）由?f(x)dx?1??k(1?x)dx?(1?x)?2k?1,k?;

???122?10,x??1,??1x?2（２）F(x)??f(t)dt??(1?x),?1?x?1,

???41,x?1????111???11???； 5?,V~?11???6??22?1（２）P{U?0,V??1}?P{X??1}?,P{U?0,V?1}?0，

611P{U?1,V??1}?P{X?0}?,P{U?1,V?1}?P{X?1}?；

32或 V U ?11 0 （３）P{?2?X?}?F()?F(?2)?12123; 1611613012 111192或P{?2?X?}??f(x)dx??2(1?x)dx?；

?222?1162（４）FY(y)?P{Y?y}?P{Y?y}?P{2X?1?y},

（３）Cov(U,V)?E(UV)?(EU)(EV)?151,DU?,DV?1,?UV?， 6365?UV?0，因此U与V不是不相关的．

y?12y?12当y?1时，FY(y)?0，

y?1?X?当1?y?3时，FY(y)?P{?2当y?3时FY(y)?1,

y?11}??22?七

解：（１）求?的矩估计，

(1?x)dx,

??E(X)????0x1?2e?x?2??X; dx??2,令??X, ??X 所以?的矩估计?n （２）?的极大似然估计， L??1(2?y?1),1?y?3,?所以fY(y)?FY?(y)??4y?1

?0,其他．?五

??i?1n12e?xi?2?1?1?2ne?2?xii?1，lnL??2nln??1?2?x，

ii?1n0,x?0,?0,x?0,??解：（１）fX(x)??f(x,y)dy?????y ???x??xedy,x?0,?xe,x?0,???x0,y?0,?0,y?0,?????fY(x)??f(x,y)dx??y?y??12?y；

??ye,y?0xedx,y?0,????0?2??dlnL2n2n1n????3?xi?0，所以?的极大似然估计量为： ?L? Xi?X； ?d???i?1ni?1?2是?2的无偏估计．?2)?E(X)?E(X)，而由（1）知E(X)??2，因此E(??2)??2，即?（３）E(?

LLL八

（２）由于当x?0,y?0时fX(x)fY(y)?（３）P{X?Y?2}=12?(x?y)xye?f(x,y)，所以X与Y不独立； 212?x0xx?y?2??f(x,y)dxdy??dx?xe?ydy??x(e?x?ex?2)dx

011121??x(e?x?ex?2)??(e?x?ex?2)dx?1??2．

00ee3102(X?X10)~N(0,1)， ?)，且X?X10与S2,X11相互独立，9?108S28S2128S2121222~?(8),2X11~?(1)，2与2X11相互独立，因此2?2X11~?2(9)，由t?分布的构2??????3(X?X10)X?X1099?10造可知． ??~t(9),C?22210108S128S?X11(2?2X11)解：由题设X?X10~N(0,??9六