《实变函数与泛函分析基础》试卷及答案要点 下载本文

试卷一:

得 分

一、单项选择题(3分×5=15分)

1、1、下列各式正确的是( )

(A)limA????n??n??n?1k??nAk; (B)limn??An??n?1k??nAk;

(C)lim????n??An??n?1k??nAk; (D)limn??An??n?1k??nAk;

2、设P为Cantor集,则下列各式不成立的是( ) (A)P? c (B) mP?0 (C) P'?P (D) P??P 3、下列说法不正确的是( )

(A) 凡外侧度为零的集合都可测(B)可测集的任何子集都可测 (C) 开集和闭集都是波雷耳集 (D)波雷耳集都可测

4、设?fn(x)?是E上的a.e.有限的可测函数列,则下面不成立的是( ) (A)若fn(x)?f(x), 则fn(x)?f(x) (B) supn?fn(x)?是可测函数

(C)infn?fn(x)?是可测函数;(D)若fn(x)?f(x),则f(x)可测

5、设f(x)是[a,b]上有界变差函数,则下面不成立的是( ) (A) f(x)在[a,b]上有界 (B) f(x)在[a,b]上几乎处处存在导数 (C)f'(x)在[a,b]上L可积 (D) ?baf'(x)dx?f(b)?f(a)

得 分

二. 填空题(3分×5=15分)

1、(CsA?CsB)?(A?(A?B))?_________

2、设E是?0,1?上有理点全体,则E'=______,Eo=______,E=______. 3、设E是Rn中点集,如果对任一点集T(第1页,共18页)

都有

_________________________________,则称E是L可测的

4、f(x)可测的________条件是它可以表成一列简单函数的极限函数. (填“充分”,“必要”,“充要”)

5、设f(x)为?a,b?上的有限函数,如果对于?a,b?的一切分划,使_____________________________________________________,则称f(x)为

?a,b?上的有界变差函数。

三、下列命题是否成立?若成立,则证明之;若不成立,则举

得 分 反例说明.(5分×4=20分)

1、设E?R1,若E是稠密集,则CE是无处稠密集。

2、若mE?0,则E一定是可数集.

3、若|f(x)|是可测函数,则f(x)必是可测函数。

4.设f(x)在可测集E上可积分,若?x?E,f(x)?0,则?f(x)?0

E

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得 分 四、解答题(8分×2=16分).

?x2,x为无理数1、(8分)设f(x)?? ,则f(x)在?0,1?上是否R?可积,是否L??1,x为有理数可积,若可积,求出积分值。

2、(8分)求lim?n?0ln(x?n)?xecosxdx n

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