作业3 刚 体

3-1 一飞轮的转动惯量为J，在 t = 0时角速度为?0，此后飞轮经

历制动过程，阻力矩M的大小与角速度?的平方成正比，比例系数k > 0，当???03时，飞轮的

角加速度

?? ，从开始制动到???03时，

所经过的时间 t = . 解：由转动定律：

M??K?2?J? 将

???03代入 得 ???k?029J

由

?K?2?J??Jd?dt ??03d?k???J dt 解得 t?2J? o?2?t00k3-2 一滑轮半径为10cm,?22 转动惯量为

1.0?10 kg?m,

有一变力

F?0.50t?0.30t2 (N)沿切线方向作用在

滑轮的边沿上，滑轮所受力矩为

0.05t?0.03t2 N?m．如果滑轮最初处于静止状态，则在3.0s后的角速

度为 49.5 rad/s． 解

M??rF?0.10???0.50t?0.30t2?：

?0.05t?0.03t2

N?m

M?Jd?dt?

?Mdt??Jd??

???1.0?10?23.0o? d???o?0.05t?0.03t2? dt?

??49.5rad/s

3-3 如图，滑块A，重物B和滑轮C的质量分别为mA = 50 kg，mB

= 200 kg和mC = 15 kg，滑轮半径为R = 0.10 m，

J0?mCR22，A与桌面之间，滑轮与轴承间均无摩擦，

绳质量可不计，绳与滑轮间无相对滑动．求滑块A的加速度及滑轮两边绳中的张力． 解：P110 6.3 TA?MAa （1）

mBg?TB?mBa（2） (TB?TA)R?J??mCR2?2（3）

a?R? （4）

所以

a?mBg2

m?m = 7.61 m/s

AB?mc2TA?MAa= 381 N

TB?mB(g?a)= 440 N

3-5 以力F 将一块粗糙平面紧压在轮上，平面与轮之间的滑动摩擦

系数为

?，轮的初角速度为 ?0，问转过多少角度时轮即停

止转动？已知轮的半径为R，质量为m，可视为匀质圆盘，转动惯量为 J = mR2/2；轴的质量忽略不计；压力F均匀分布在轮面上． P115 6.13

解：以轮心为中心，r为半径，取宽为dr的细环，

细环上压力为 dF?(Fπ R2)?2π r?dr，

细

环

上

摩

擦

力

为 df?? dF?2?(FR2)r dr

df

对

轴

的

力

矩

为 dM?? r df?2?(FR2)r2dr

总

摩

擦

力

矩

为

M??dM?2?(FR2)?R0r2dr?2?FR3

由动能定理

?M????0?J?202

∴ ???3mR?208?F

3-6 已知滑轮对中心轴的转动惯量为J，半径为R，物体的质量为m，弹簧的劲度系数为k，斜面的倾角为?，物体与斜面间光滑，系

统从静止释放，

且释放时绳子无伸长（如图所示），求物体下滑x距离时的速率．原题 5－5 解：∵ 仅保守力作功，∴ 机械能守恒

而

???R ∴ ?2mgxsin??kx2?mR2?J?R

C A B 题3-3图

3-7 氧分子对垂直于两氧原子连线的对称轴的转动惯量为1.94

?10?46kg?m2，氧分子质量为5.30

?10?26kg．若

氧气中有一个氧分子具有500 m/s 的平动速率，且这个分子的转13gl1?cos?0213g?1?cos?0? （逆时针反转） ?2???2???

动动能是其平动动能的2/3．这个分子转动角速度大小为 2l6.75×1012 (rad/s)．

解：

Ekr?J?22，

Ekt?m?22，Ekr?2Ekt3，

??2m(3J)?=

6.75×1012

(rad/s) P116 6.14

3-8 一人手执两个哑铃，两臂平伸坐在以

?0角速度旋转的转轴

处，摩擦可不计，现突然将两臂收回，转动惯量为原来的1/3，则收臂后的转动动能是收臂前的 3 倍． 解：

J0?0?J0?3 收臂后角速度 ??3?0 ，收

臂前动能

Ek?J0?022

收

臂后动能

E2k???J03??3?0?2?3J0?022 ∴

Ek?Ek?3

3-12 如图所示，一质量m、长 l 的匀质细杆，以O点为轴，从静止在与竖直方向成

?0角处自由下摆，到竖直位置时与光滑桌面

上一质量也为m的静止物块（可视为质点）发生弹性碰撞，已知杆对O轴的转动惯量为ml23．求：⑴棒开始转动时的角加

速度;

⑵ 棒转到竖直位置碰撞前的角速度

?1及棒中央点C的速度

?C1．

⑶ 碰撞后杆的角速度

?2和物块的线速度?2．

解：⑴ 由转动定律 M?J? M?mgl2sin?0

联立求得 ??3gsin?02l（rads2）

⑵ 棒从?0角转到竖直位置过程，机械能守恒有：

得：

?3g?1?co?s0?1?l ①，

?C1??l112?23gl?1?cos?0? ⑶ 棒与物块在弹性碰撞过程中对转轴的角动量守恒，有：

由

机

械

能

守

恒

，

得

：

12?13ml2?21122121?2?3ml?2?2m?2 ③ 联立 ① ② ③ 式得：

Om题3-11?0图 CCm题3-12图

3-13 单摆和直杆等长l，等质量m，悬挂于同一点O，摆锤拉到高度h0（h0 ≤ l ）放开，与静止的直杆作弹性碰撞，已知直杆绕O点的转动惯量13A?(p1?2p1)?（2V1?V1）?p1V1，

22又因为

J?ml23，求碰撞后直杆下端可上升的最

paVa?pbVb，所以TA?TB，?E?0

大高度h．

解: 碰撞前摆锤速率

?0?2gh0

设碰撞后摆锤速率?，直杆角速率?，已知

J?ml23，则

碰撞前后角动量守恒 ml?0?ml??J?

碰

撞

前

后

机

械

能

守

恒

1m?2?1m?2?1J?22022 直杆上升过程机械能守恒

J?22?mgh2

解得

??3?02l

h?3h02

*3-14 一长为 l 的匀质细杆，可绕通过中心O的固定水平轴在铅垂平面内自由转动（转动惯量为

ml212）

，开始时杆静止于水平位置．一质量与杆相同的昆虫以速率

?0垂直落到距O点

l4 处的杆上，昆虫落下后立即向杆的端点爬行，如图所示．若

要使杆以匀角速度转动，试求昆虫沿杆爬行的速率．P107 6.5 解：设杆和虫的重量均为m，碰后角速度为?，虫落到杆上为完

全非弹性碰撞（时间很短，重力可忽略），对杆和虫的系统，合

外力矩为零，角动量守恒 得

??12?7l0

设碰后t时刻，杆转过?角，虫爬到距O点为r处，此时杆

和虫系统所受合外力矩为

根据角动量定理有 M?d(J?)dt

由题设?不变，∴ M??dJdt

t时刻系统对O的转动惯量为 J?ml212?mr2，

代入上式，有 ∴ 为了保持

?不变，虫的爬行速录应为

??12?70l

作业5 热力学基础

5-1 一定量理想气体从a (2p1，V1) 状态经历如图直线过程到 b(p1，2V1) 状态，则在ab过程中系统对外作功

A = 3P1V1/2 ，内能改变 ?E= 0 ．

解

：

面

积

O l l m m h0 题3-13图 l4O?0l4m题3-14图 O?0mr?mgP2P1 a P1 b O V1 2V1 V 题5-1图