生活的色彩就是学习

2011年高考第二轮专题复习（教学案）：平面向量

考纲指要：

重点考察向量的概念、向量的几何表示、向量的加减法、实数与向量的积、两个向量共线的充要条件、向量的坐标运算等。

考点扫描：

1．向量的概念：①向量；②零向量；③单位向量；④平行向量（共线向量）；⑤相等向量。

2．向量的运算：（1）向量加法；（2）向量的减法；（3）实数与向量的积。 3．基本定理：（1）两个向量共线定理；（2）平面向量的基本定理。 4．平面向量的坐标表示。 5．向量的数量积：（1）两个非零向量的夹角；（2）数量积的概念；（3）数量积的几何意义；（4）向量数量积的性质；（5）两个向量的数量积的坐标运算；（6）垂直：如果a与b的夹角为90则称a与b垂直，记作a⊥b。

0

6．向量的应用：（1）向量在几何中的应用；（2）向量在物理中的应用。

考题先知：

2

例1． 已知二次函数f（x）＝x－2x＋6，设向量a＝（sinx，2），b＝（2sinx，

1）， 2c＝（cos2x，1），d＝（1，2）．当x∈[0，π]时，不等式f（a·b）>f（c·d）的解集为___________．

22

解：a·b＝2sinx＋1≥1， c·d＝cosx＋1≥1 ，f（x）图象关于x＝1对称，

∴f（x）在（1，＋∞）内单调递增．

22

由f（a·b）>f（c·d）?a·b>c·d，即2sinx＋1>2cosx＋1，

又∵x∈[0，π] ，∴x∈（

例2．求函数y??3?4,4）．故不等式的解集为（

?3?4,4）．

x4?x2?1?x4?x2?1的值域.

分析：由于向量沟通了代数与几何的内在联系，因此本题利用向量的有关知识求函数的值域。 解:因为y?(x2?)2?(1223213)?(x2?)2?()2， 222所以构造向量p?(x?1313,),q?(x2?,),则y?p?q,而p?q?(1,0), 2222所以y?p?q?p?q?1,得?1?y?1,

另一方面:由(x2?)2?(123213)?(x2?)2?()2,得y?0, 222K12的学习需要努力专业专心坚持

生活的色彩就是学习 所以原函数的值域是[0,1).

点评：在向量这部分内容的学习过程中，我们接触了不少含不等式结构的式子，如等。 类比一：已知x2?6x?y2?4y?12，求u?3x?4y的最值。

解：已知等式可化为(x?3)2?(y?2)2?25，而u?3x?4?3(x?3)?(?4)(y?2)?17，所以构造向量a?(x?3,y?2),b?(3,?4)，则u?a?b?17?25cos?a,b??17，从而最大值为42，最小值为8。

类比二：计算cos5??cos77??cos149??cos221??cos293?之值。

解：构造单位圆的内接正五边形ABCDE，使A(cos5?,sin5?)，B(cos77?,sin77?)，

C(cos149?,sin149?)，D(cos221?,sin221?)，E(cos293?,sin293?)，则可证

OA?OB?OC?OD?OE?0,从而原式=0

类比三：已知实数x,y,z满足x?y?z?1，求证：x?y?z?解：构造空间向量a?(x,y,z),b?(1,1,1),即可。

复习智略：

例3．在直角坐标平面中，△ABC的两个顶点为 A（0，－1），B（0, 1）平面内两点G、M同时满足①GA?GB?GC?0 , ②|MA|= |MB|= |MC|③GM∥AB （1）求顶点C的轨迹E的方程

（2）设P、Q、R、N都在曲线E上 ，定点F的坐标为（2, 0） ，已知PF∥FQ , RF∥FN且PF·RF= 0.求四边形PRQN面积S的最大值和最小值. 解：（1）设C ( x , y )，

2221。 3GA?GB?2GO,由①知GC??2GO,

33?G为 △ABC的重心 ， ? G(x,y)

由②知M是△ABC的外心，?M在x轴上 由③知M（

x，0）， 3由|MC| ? |MA| 得()?1?x32x(x?)2?y2 3x2?y2?1（x≠0 ） 化简整理得：3K12的学习需要努力专业专心坚持

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x2?y2?1的右焦点 （2）F（2，0 ）恰为3 设PQ的斜率为k≠0且k≠±

2，则直线PQ的方程为y = k ( x －2) 2由???y?k(x?2)2222?(3k?1)x?62kx?6k?3?0 22??x?3y?3?06k2?362k2设P(x1 , y1) ，Q (x2 ,y2 ) 则x1 + x2 = 2 , x1·x2 =2

3k?13k?162k226k2?3则| PQ | =1?k · (x1?x2)?4x1x2= 1?k ·(2 )?4?23k?13k?122223(k2?1)=

3k2?1123(k2?1)RN⊥PQ,把k换成?得 | RN | = 2k3?k16(k2?1)2 ?S =| PQ | · | RN |= =2?222(3k?1)(k?3)?3(k2?8)

13(k2?2)?10k18)?10? k22?S183k2?2≥2 ， ?≥16?≤ S < 2 ， (当 k = ±1时取等号)

k2?S23又当k不存在或k = 0时S = 2 综上可得 ≤ S ≤ 2

23 ?Smax = 2 ， Smin =

2

检测评估：

1．设a0为单位向量，（1）若a为平面内的某个向量，则a=|a|·a0;(2)若a与a0平行，则a=|a|·a0；（3）若a与a0平行且|a|=1，则a=a0。上述命题中，假命题个数是（ ）

A．0

B．1

C．2

D．3

2．已知直线ax?by?c?0与圆x2?y2?1相交于A、B两点，且|AB|?3，则OA?OB K12的学习需要努力专业专心坚持