2.1 二次函数

1．理解、掌握二次函数的概念和一般形式；(重点)

2．会利用二次函数的概念解决问题；(重点)

3．列二次函数表达式解决实际问题．(难点)

( )

下列函数中是二次函数的有

①y＝x＋；②y＝3(x－1)2＋2；③y1

x＝(x＋3)－2x；④y＝2＋x.

2

2

1

xA．4个 B．3个 C．2个 D．1个

解析：①y＝x＋，④y＝2＋x的

1

1

xx右边不是整式，故①④不是二次函数；

②y＝3(x－1)2＋2，符合二次函数的定

一、情境导入

义；③y＝(x＋3)2－2x2＝－x2＋6x＋9，符合二次函数的定义．故选C.

已知长方形窗户的周长为6m，窗户面积为y m2，窗户宽为x m，你能写出y与x之间的函数关系式吗？它是什么函数呢？

二、合作探究

探究点一：二次函数的概念 【类型一】 二次函数的识别

1

方法总结：判定一个函数是否是二次函数常有三个标准：①所表示的函数关系式为整式；②所表示的函数关系式有唯一的自变量；③所含自变量的关系式最高次数为2，且函数关系式中二次项系数不等于0.

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第1题

【类型二】 利用二次函数的概念求字母的值 当k为何值时，函数y＝(k－

1)xk2＋k＋1为二次函数？

解析：根据二次函数的概念，可得k2＋k＝2且同时满足k－1≠0即可解答．

解：∵函数y＝(k－1)xk2＋k＋1为

2??k＋k＝2，

二次函数，∴?解得

k－1≠0，??

3，当x＝2时，y＝3，∴3＝－22＋2b＋3，解得b＝2. ∴这个二次函数的表达式是y＝－x2＋2x＋3.将x＝1代入得

y＝4.故答案为4.

方法总结：解题的关键是先确定解析式，再代入求值．

【类型四】 二次函数与一次函数的关系 已知函数y＝(m2－m)x2＋(m－1)x＋m＋1.

(1)若这个函数是一次函数，求m的值；

(2)若这个函数是二次函数，则m的值应怎样？

解析：根据二次函数与一次函数的定义解答．

解：(1)根据一次函数的定义，得

??k＝1或－2，

?∴k＝－2. ??k≠1，

方法总结：解答本题要考虑两方面：一是x的指数等于2；二是二次项系数不等于0.

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第2题

【类型三】 二次函数相关量的计算 已知二次函数y＝－x2＋bx＋3，当x＝2时，y＝3.则x＝1时，y＝________．

解析：∵二次函数y＝－x2＋bx＋

m2－m＝0，解得m＝0或m＝1.又∵m－1≠0，即m≠1，∴当m＝0时，这个函数是一次函数；

(2)根据二次函数的定义，得m2－

m≠0，解得m≠0或m≠1，∴当m≠0

2

或m≠1时，这个函数是二次函数．

方法总结：熟记二次函数与一次函数的定义，另外要注意二次函数的二次项的系数不等于零．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第5题

1

ABCD是矩形菜园，∴BC＝(30－x)，

21

∴菜园的面积＝AB×BC＝ (30－

2

x)·x，则菜园的面积y与x的函数关12

系式为y＝－x＋15x.

2

方法总结：函数与几何知识的综

探究点二：从实际问题中抽象出

合问题，关键是掌握数与形的转化．有

二次函数解析式

些题目是以几何知识为背景，从几何

【类型一】 从几何图形中抽象出图形中建立函数关系，关键是运用几

二次函数解析式 何知识建立量与量的等式．

变式训练：见《学练优》本课时

如图，用一段长为30米的篱

笆围成一个一边靠墙(墙的长度不限)的矩形菜园ABCD，设AB边长为x米，则菜园的面积y(单位：米2)与x(单位：米)的函数关系式为多少？

解析：根据已知由AB边长为x米1

可以推出BC＝(30－x)，然后根据矩

2形的面积公式即可求出函数关系式．

总利润为y元(其中x为正整数，且

解：∵AB边长为x米，而菜园

1≤x≤10)，求出y关于x的函数关系

3

练习“课堂达标训练”第10题

【类型二】 从生活实际中抽象出二次函数解析式 某工厂生产的某种产品按质

量分为10个档次，第1档次(最低档次)的产品一天能生产95件，每件利润6元．每提高一个档次，每件利润增加2元，但一天产量减少5件．

(1)若生产第x档次的产品一天的