精心整理
因式分解的常用方法 第一部分：方法介绍
多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多
数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．
一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)
二、运用公式法.
在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：
2222
（1）(a+b)(a-b)=a-b---------a-b=(a+b)(a-b)；
222222
(2)(a±b)=a±2ab+b———a±2ab+b=(a±b)；
22333322
(3)(a+b)(a-ab+b)=a+b------a+b=(a+b)(a-ab+b)；
22333322
(4)(a-b)(a+ab+b)=a-b------a-b=(a-b)(a+ab+b)． 下面再补充两个常用的公式：
2222
(5)a+b+c+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)；
333222
(6)a+b+c-3abc=(a+b+c)(a+b+c-ab-bc-ca)；
例.已知a，b，c是?ABC的三边，且a2?b2?c2?ab?bc?ca，
则?ABC的形状是（）
A.直角三角形B等腰三角形C等边三角形D等腰直角三角形 解：a2?b2?c2?ab?bc?ca?2a2?2b2?2c2?2ab?2bc?2ca
三、分组分解法.
（一）分组后能直接提公因式 例1、分解因式：am?an?bm?bn
分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a，后两项都含有b，因此可以考虑将前
两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。
解：原式=(am?an)?(bm?bn)
=a(m?n)?b(m?n)每组之间还有公因式！
=(m?n)(a?b)
例2、分解因式：2ax?10ay?5by?bx
解法一：第一、二项为一组；解法二：第一、四项为一组；
第三、四项为一组。第二、三项为一组。
解：原式=(2ax?10ay)?(5by?bx)原式=(2ax?bx)?(?10ay?5by)
=2a(x?5y)?b(x?5y)=x(2a?b)?5y(2a?b)
=(x?5y)(2a?b)=(2a?b)(x?5y)
精心整理
练习：分解因式1、a2?ab?ac?bc2、xy?x?y?1
（二）分组后能直接运用公式 例3、分解因式：x2?y2?ax?ay
分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提
完后就能继续分解，所以只能另外分组。
解：原式=(x2?y2)?(ax?ay) =(x?y)(x?y)?a(x?y) =(x?y)(x?y?a)
例4、分解因式：a2?2ab?b2?c2 解：原式=(a2?2ab?b2)?c2
=(a?b)2?c2 =(a?b?c)(a?b?c)
练习：分解因式3、x2?x?9y2?3y4、x2?y2?z2?2yz 综合练习：（1）x3?x2y?xy2?y3（2）ax2?bx2?bx?ax?a?b （3）x2?6xy?9y2?16a2?8a?1（4）a2?6ab?12b?9b2?4a
（5）a4?2a3?a2?9（6）4a2x?4a2y?b2x?b2y （7）x2?2xy?xz?yz?y2（8）a2?2a?b2?2b?2ab?1 （9）y(y?2)?(m?1)(m?1)（10）(a?c)(a?c)?b(b?2a) （11）a2(b?c)?b2(a?c)?c2(a?b)?2abc（12）a3?b3?c3?3abc
四、十字相乘法.
（一）二次项系数为1的二次三项式
直接利用公式——x2?(p?q)x?pq?(x?p)(x?q)进行分解。
特点：（1）二次项系数是1； （2）常数项是两个数的乘积；
（3）一次项系数是常数项的两因数的和。
思考：十字相乘有什么基本规律？
例.已知0＜a≤5，且a为整数，若2x2?3x?a能用十字相乘法分解因式，求符合条件
的a.
解析：凡是能十字相乘的二次三项式ax2+bx+c，都要求??b2?4ac>0而且是一个完全平方数。
于是??9?8a为完全平方数，a?1 例5、分解因式：x2?5x?6
分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。
由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6)，从中可以发现只有2×3的分解适合，即
2+3=5。12 解：x2?5x?6=x2?(2?3)x?2?313 =(x?2)(x?3)1×2+1×3=5
用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和
要等于一次项的系数。
精心整理
例6、分解因式：x2?7x?6
解：原式=x2?[(?1)?(?6)]x?(?1)(?6)1-1
=(x?1)(x?6)1-6 （-1）+（-6）=-7
练习5、分解因式(1)x2?14x?24(2)a2?15a?36(3)x2?4x?5 练习6、分解因式(1)x2?x?2(2)y2?2y?15(3)x2?10x?24 （二）二次项系数不为1的二次三项式——ax2?bx?c
条件：（1）a?a1a2a1c1
（2）c?c1c2a2c2
（3）b?a1c2?a2c1b?a1c2?a2c1 分解结果：ax2?bx?c=(a1x?c1)(a2x?c2)
例7、分解因式：3x2?11x?10
分析：1-2 3-5 （-6）+（-5）=-11
解：3x2?11x?10=(x?2)(3x?5)
练习7、分解因式：（1）5x2?7x?6（2）3x2?7x?2
（3）10x2?17x?3（4）?6y2?11y?10 （三）二次项系数为1的齐次多项式 例8、分解因式：a2?8ab?128b2
分析：将b看成常数，把原多项式看成关于a的二次三项式，利用十字相乘法进行分
解。 18b 1-16b 8b+(-16b)=-8b
解：a2?8ab?128b2=a2?[8b?(?16b)]a?8b?(?16b)
=(a?8b)(a?16b)
练习8、分解因式(1)x2?3xy?2y2(2)m2?6mn?8n2(3)a2?ab?6b2
（四）二次项系数不为1的齐次多项式 例9、2x2?7xy?6y2例10、x2y2?3xy?2
1-2y把xy看作一个整体1-1
2-3y1-2 (-3y)+(-4y)=-7y(-1)+(-2)=-3
解：原式=(x?2y)(2x?3y)解：原式=(xy?1)(xy?2)
练习9、分解因式：（1）15x2?7xy?4y2（2）a2x2?6ax?8 综合练习10、（1）8x6?7x3?1（2）12x2?11xy?15y2 （3）(x?y)2?3(x?y)?10（4）(a?b)2?4a?4b?3 （5）x2y2?5x2y?6x2（6）m2?4mn?4n2?3m?6n?2
（7）x2?4xy?4y2?2x?4y?3（8）5(a?b)2?23(a2?b2)?10(a?b)2 （9）4x2?4xy?6x?3y?y2?10（10）12(x?y)2?11(x2?y2)?2(x?y)2