即sin α＝45，又α∈??π?2，π???，从而cos α＝－35， 所以sin???α＋π3???＝sin αcosπ3＋cos αsinπ3 ＝45×12＋??3?－5??34－33

?×2＝10

. 32．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a－c＝6

6

b，sin B＝6sin C. (1)求cos A的值； (2)求cos??π?

2A－6???的值．

解：(1)在△ABC中，由bcsin B＝sin C，及

sin B＝6sin C，可得b＝6c. 由a－c＝

6

6

b，得a＝2c. b2＋c2所以cos A＝－a22bc＝6c2＋c2－4c226c2

＝6

4. (2)在△ABC中，由cos A＝64，可得sin A＝10

4

. 于是cos 2A＝2cos2

A－1＝－14，sin 2A＝2sin A·cos A＝154.

所以cos???2A－π6???＝cos 2A·cosππ15－36＋sin 2A·sin6＝8.

33．如图所示，在四边形ABCD中，∠D＝2∠B，且AD＝1, CD＝3，cos B＝

3

3

.

(1)求△ACD的面积； (2)若BC＝23，求AB的长． 解：(1)因为∠D＝2∠B，cos B＝

33

， 所以cos D＝cos 2B＝2cos2

B－1＝－13. 因为D∈(0，π)，

16

所以sin D＝1－cos2D＝22

3

. 因为AD＝1，CD＝3，

所以△ACD的面积S＝1122

2AD·CD·sin D＝2×1×3×3＝2.

(2)在△ACD中，AC2

＝AD2

＋DC2

－2AD·DC·cos D＝12， 所以AC＝23.

因为BC＝23，ACABsin B＝sin∠ACB， 所以23ABABABABsin B＝π－2B＝

sin 2B＝2sin Bcos B＝23

，3

sin B所以AB＝4.

17