令f'(x)?0,解得1?x?? ∴函数f(x)在(0,1)和(?1. a11,??)上单调递增,在(1,?)上单调递减…………6分

aa综上所述，⑴当a?0时,函数f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,??)上单调递减； ⑵当a??1时,函数f(x)在(0,?)和(1,??)上单调递增,在(? ⑶当a??1时,函数f(x)在(0,??)上单调递增； ⑷当?1?a?0时, 函数f(x)在(0,1)和(?1a1,1)上单调递减； a11,??)上单调递增，在(1,?)上单调递减……………7分

aa（2）设A(x1,y1),B(x2,y2)，且不妨设0?x1?x2，则

12ax1?(1?a)x1…………① 21 y2?lnx2?ax22?(1?a)x2…………②

2 y1?lnx1?由①－②得：lnx1?lnx2??a?x1?x2??1?a?(x1?x2)…………③

?2?假设C1在M处的切线与C２在N处的切线平线，则有

?1?21?a(x1?x2)?1?a

x1?x22代入(３)化简可得：

lnx2?lnx12?，

x2?x1x2?x1 即lnx22(x2?x1)??x1x2?x12(x2?1)x1…………………………………………11分

x2?1x1 设

x22(t?1)4?t (t?1)，上式化为：lnt?, ?2?x1t?1t?1 即lnt?4?2…………………………………………………………………………12分 t?114(t?1)24 令g(t)?lnt?,g'(t)??.

t(t?1)2t(t?1)2t?1 ∵t?1,显然g'(t)?0，∴g(t)在(1,??)上递增,

显然有g(t)?2恒成立. ∴在(1,??)内不存在，使得lnt? 综上所述，假设不成立.

∴C1在M处的切线与C2在N处的切线不平线…………1４分

【株洲市2020届高三质量统一检测】根据环保部门测定，某处的污染指数与附近污染源的强度成正比，与到污染源距离的平方成反比，比例常数为k(k>0)。现已知相距18km的A、B两家化工厂（污染源）的污染强度分别为a、b，它们连线上任意一点C处的污染指数y等于两化工厂对该处的污染指数之和，设AC=x(km)。 （1）试将y表示为x的函数；

（2）若a=1且x=6时，y取得最小值，试求b的值。 解：（1）由题意可知，A对C处的污染指数为

4?2成立. t?1kbka，B对C处的污染指数为， 22(18?x)x所以y?kakb?,x?(0,18). …………6分 22x(18?x)kkbbx3?(18?x)3'（2）当a=1时 ，y?2?，则y?2k?， …………8分 233x(18?x)x(18?x)由x=6时y取得最小值可知，y''x?6?0，解得b?8。 ………10分

(2x)3?(18?x)39(x?6)(x2?108)而当b?8时， y?2k?. ?2k?x3(18?x)3x3(18?x)3当0

（2）如果存在x1,x2?[0,2]，使得g(x1)?g(x2)?M成立，求满足上述条件的最大整数M； （3）如果对任意的s,t?[,2]，都有f(s)?g(t)成立，求实数a的取值范围． 解：（1）当a?2时，f(x)?1222?xlnx，f'(x)??2?lnx?1，f(1)?2，f'(1)??1， xx所以曲线y?f(x)在x?1处的切线方程为y??x?3； LLLL 4分

（2）存在x1,x2?[0,2]，使得g(x1)?g(x2)?M成立

等价于：[g(x1)?g(x2)]max?M，

考察g(x)?x?x?3，g'(x)?3x2?2x?3x(x?)，

3

322x g'(x) 0 0 ?3 2(0,) 3? 递减 2 32(,2] 32

0 ? g(x) 85极（最）小值? 递增 272385,g(x)max?g(2)?1， 271 由上表可知：g(x)min?g()??

[g(x1)?g(x2)]max?g(x)max?g(x)min?112， 27所以满足条件的最大整数M?4； LLLL 9分

（3）当x?[,2]时，f(x)?12a?xlnx?1恒成立 x等价于a?x?x2lnx恒成立，

记h(x)?x?xlnx，h'(x)?1?2xlnx?x， h'(1)?0。 记m(x)?1?2xlnx?x，m'(x)??3?2lnx，由于x?[,2]，

2121m'(x)??3?2lnx?0, 所以m(x)?h'(x)?1?2xlnx?x在[,2]上递减，

21当x?[,1)时，h'(x)?0，x?(1,2]时，h'(x)?0，

212即函数h(x)?x?xlnx在区间[,1)上递增，在区间(1,2]上递减，

2所以h(x)max?h(1)?1，所以a?1。 LLLL 14分

（3）另解：对任意的s,t?[,2]，都有f(s)?g(t)成立

等价于：在区间[,2]上，函数f(x)的最小值不小于g(x)的最大值，

由（2）知，在区间[,2]上，g(x)的最大值为g(2)?1。

1212121f(1)?a?1，下证当a?1时，在区间[,2]上，函数f(x)?1恒成立。

2a1?xlnx??xlnx， xx11记h(x)??xlnx，h'(x)??2?lnx?1， h'(1)?0

xx11当x?[,1)，h'(x)??2?lnx?1?0；当x?(1,2]，

2x1h'(x)??2?lnx?1?0，

x11所以函数h(x)??xlnx在区间[,1)上递减，在区间(1,2]上递增，

x2当a?1且x?[,2]时，f(x)?12h(x)min?h(1)?1，即h(x)?1，

所以当a?1且x?[,2]时，f(x)?1成立，

即对任意s,t?[,2]，都有f(s)?g(t)。

【辽宁省沈阳四校协作体2020届高三上学期12月月考】已知函数f(x)?lnx?（Ⅰ）讨论函数f(x)的单调区间；

（Ⅱ）若2xlnx?2mx2?1在[1,e]恒成立，求m的取值范围。 ：（Ⅰ）f?(x)?1212a。 x1ax?a?2?2(x?0) xxx当a?0时，x?(0,?a),f?(x)?0,f(x)单调递减，

x?(?a,??),f?(x)?0,f(x)单调递增。

当a?0时，x?(0,??),f?(x)?0,f(x)单调递增。 …………………4分

lnx1（Ⅱ）2xlnx?2mx2?1，得到?2?m

x2xlnx1令已知函数g(x)??2

x2x11?lnx?x g?(x)?2x1a??1时，f(x)?lnx?

xx?(0,1),f?(x)?0,f(x)单调递减，x?(1,??),f?(x)?0,f(x)单调递增。

11?lnx?1x?0 f(x)?f(1)?1，即lnx??1，g?(x)?xx2g(x)在x?(0,??),g?(x)?0,g(x)单调递减，

1lnx11在[1,e]，g(x)?g(1)?，若?2?m恒成立，则m?。…………………12分

2x22x【银川一中2020届高三年级第二次月考】已知f(x)是二次函数，不等式f(x)?0的

解集是(0,5),且f(x)在区间??1,4?上的最大值是12.

（1）求f(x)的解析式；

（2）是否存在整数m,使得方程f(x)?37?0在区间(m,m?1)内有且只有两个不等的x实数根？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由. 解：（I）Qf(x)是二次函数，且f(x)?0的解集是(0,5),

?可设f(x)?ax(x?5)(a?0).--------------------------------2分

?f(x)在区间??1,4?上的最大值是f(?1)?6a.

由已知，得6a?12,

?a?2,?f(x)?2x(x?5)?2x?10x(x?R).（II）方程f(x)?32-----------------------------4分

37?0等价于方程2x3?10x2?37?0. x22设h(x)?2x?10x?37,则h'(x)?6x?20x?2x(3x?10).

10)时，h'(x)?0,h(x)是减函数； 310当x?(,??)时，h'(x)?0,h(x)是增函数.------------------------8分

3101Qh(3)?1?0,h()???0,h(4)?5?0,

3271010?方程h(x)?0在区间(3,),(,4)内分别有惟一实数根，而在区间(0,3),(4,??)内

33当x?(0,没有实数根. ----10分

所以存在惟一的自然数m?3,使得方程f(x)?不同的实数根.-- -----------------12分 【银川一中

2020

届高三年级第二次月考】 设x?3是函数

37?0在区间(m,m?1)内有且只有两个xf(x)?(x2?ax?b)e3?x(x?R)的一个极值点.

（1）求a与b的关系式（用a表示b），并求f(x)的单调区间； （2）设a?0，g(x)?(a2?求a的取值范围.

解：（Ⅰ）f `(x)＝－[x＋(a－2)x＋b－a ]e由f `(3)=0，得 －[3＋(a－2)3＋b－a ]e2

2

25x)e.若存在x1,x2?[0,4]使得|f(x1)?g(x2)|?1成立，43－x,

3－3＝0，即得b＝－3－2a，----------2分