二次函数几种解析式的求法 下载本文

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二次函数的解析式求法

求二次函数的解析式这类题涉及面广,灵活性大,技巧性强,笔者结合近几年来的中考

试题,总结出几种解析式的求法,供同学们学习时参考。

一、 三点型

例1 已知一个二次函数图象经过(-1,10)、(2,7)和(1,4)三点,那么这个函

数的解析式是_______。 分析 已知二次函数图象上的三个点,可设其解析式为y=ax+bx+c,将三个点的坐标代入,易得a=2,b=-3,c=5 。故所求函数解析式为y=2x-3x+5.

这种方法是将坐标代入y=ax+bx+c 后,把问题归结为解一个三元一次方程组,求出待定系数 a, b , c, 进而获得解析式y=ax+bx+c.

二、交点型

例2 已知抛物线y=-2x+8x-9的顶点为A,若二次函数y=ax+bx+c的图像经过A点,且与x轴交于B(0,0)、C(3,0)两点,试求这个二次函数的解析式。

分析 要求的二次函数的图象与x轴的两个交点坐标,可设y=ax(x-3),再求也y=-2x+8x-9

22222221的顶点A(2,-1)。将A点的坐标代入y=ax(x-3),得到a=2 1123x?x222. ∴y=x(x-3),即 y=

三、顶点型

例 3 已知抛物线y=ax+bx+c的顶点是A(-1,4)且经过点(1,2)求其解析式。 分析 此类题型可设顶点坐标为(m,k),故解析式为y=a(x-m)+k.在本题中可设y=a(x+1)+4.

222.

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1再将点(1,2)代入求得a=-2 1(x?1)2?4,∴y=-2 127x?x?2. 即y=-2

由于题中只有一个待定的系数a,将已知点代入即可求出,进而得到要求的解析式。

四、平移型

例 4 二次函数y=x+bx+c的图象向左平移两个单位,再向上平移3个单位得二次函

2y?x?2x?1,则b与c分别等于 数

2(A)2,-2;(B)-6,6;(c)-8,14;(D)-8,18.

分析 逆用平移分式,将函数y=x-2x+1的顶点(1,0)先向下平移3个单位,再向右平移两个单位得原函数的图象的顶点为(3,-3)。

2?bx?c?(x?3)?3 ∴y=x

22=x?6x?6. ∴b=-6,c=6.

因此选(B)

五、弦比型

例 5 已知二次函y=ax+bx+c为x=2时有最大值2,其图象在X轴上截得的线段长为2,求这个二次函数的解析式。

22?a分析 弦长型的问题有两种思路,一是利用对称性求出交点坐标,二是用弦比公式d=

就本题而言,可由对称性求得两交点坐标为A(1,0),B(3,0)。再应用交点式或顶点式求得解析式为y=-2x+8x-6.

六、识图型

2.

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1212x?(b?2)x?cx?(b?2)x?d例 6 如图1, 抛物线y=2与y=2其中一条的顶点为P,

另一条与X轴交于M、N两点。

(1)试判定哪条抛物线与X轴交于M、N点? (2)求两条抛物线的解析式。

12x?(b?2)x?c解 (1)抛物线y=2与x轴交于M,N两点

(过程从略);

12x?(b?2)x?d2(2)因y=的顶点坐标为(0,1),

∴b-2=0,d=1, ∴b=2.

12x?12∴Y=.

12x将点N的坐标与b=2分别代入y=2+(b+2)x+c得c=6. 12x2∴y=+4x+6

七、面积型

2例 7 已知抛物线y=x?bx?c 的对称轴在 y轴的右侧,且抛物线与 y轴交于Q(0,-3),

与x轴的交点为A、B,顶点为P,ΔPAB的面积为8。求其解析式。

2解 将(0,-3)代入y=x?bx?c得 c=-3.

由弦长公式,得

AB?b2?12

.

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?12?b24点P的纵坐标为

由面积公式,得

12?12?b2b?12??8.24

解得b??2.

因对称轴在y 轴的右侧,∴ b=-2.

2所以解析式为y=x?2x?3

八、几何型

例 8 已知二次函数y=x-mx+2m-4如果抛物线与x轴相交的两个交点以及抛物线的顶点组成一个等边三角形,求其解析式。 解 由弦比公式,得AB=

2m2?4(2m?4)?m?4

(m?4)24顶点C的纵坐标为-

∵ΔABC为等边三角形

(m?4)21??3?m?442

解得m=4?23,故所求解析式为 y=x?(4?23)x?4?43,

2x?(4?23)x?4?43 或y=

2

九、三角型

122 例 9已知抛物线y=x?bx?c的图象经过三点(0,25)、(sinA,0)、(sinB,0)且

A、B为直角三角形的两个锐角,求其解析式。 解 ∵A+B=90,∴sinB=cosA. 则由根与系数的关系,可得

0.

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?sinA?cosA??b??sinA?cosA?c

1212.2525将(0,)代入解析式,得c=

(1)?(2)?2,得

2b2?247?1,b??255 ∴

7∵-b?0,∴b=-5

x2?712x?525

所以解析式为y=

十、综合型

例 10 如图2,已知抛物线y=-x?px?q与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点, 若∠ACB=90,且tg∠CAO-tg∠CBO=2,求其解析式.

解 设A,B两点的横坐标分别为x1,x2,则q=(-x1)?x2?OA?OB. 由ΔAOC~ΔCOB,可得OC=OA·OB, ∴q=q解得q1=1,q2=0(舍去),

2202OCOC??2OAOB又由tg∠CAO-tg∠CBO=2得

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