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二次函数的解析式求法
求二次函数的解析式这类题涉及面广，灵活性大，技巧性强，笔者结合近几年来的中考
试题，总结出几种解析式的求法，供同学们学习时参考。
一、 三点型
例1 已知一个二次函数图象经过（-1，10）、（2，7）和（1，4）三点，那么这个函
数的解析式是_______。 分析 已知二次函数图象上的三个点，可设其解析式为y=ax+bx+c,将三个点的坐标代入，易得a=2,b=-3,c=5 。故所求函数解析式为y=2x-3x+5.
这种方法是将坐标代入y=ax+bx+c 后，把问题归结为解一个三元一次方程组，求出待定系数 a, b , c, 进而获得解析式y=ax+bx+c.
二、交点型
例2 已知抛物线y=-2x+8x-9的顶点为A，若二次函数y=ax+bx+c的图像经过A点，且与x轴交于B（0，0）、C（3，0）两点，试求这个二次函数的解析式。
分析 要求的二次函数的图象与x轴的两个交点坐标，可设y=ax(x-3),再求也y=-2x+8x-9
22222221的顶点A（2，-1）。将A点的坐标代入y=ax(x-3),得到a=2 1123x?x222. ∴y=x(x-3),即 y=
三、顶点型
例 3 已知抛物线y=ax+bx+c的顶点是A(-1,4)且经过点(1,2)求其解析式。 分析 此类题型可设顶点坐标为(m,k)，故解析式为y=a(x-m)+k.在本题中可设y=a(x+1)+4.
222.
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1再将点(1,2)代入求得a=-2 1(x?1)2?4,∴y=-2 127x?x?2. 即y=-2
由于题中只有一个待定的系数a，将已知点代入即可求出，进而得到要求的解析式。
四、平移型
例 4 二次函数y=x+bx+c的图象向左平移两个单位，再向上平移3个单位得二次函
2y?x?2x?1,则b与c分别等于 数
2(A)2,-2;(B)-6,6;(c)-8,14;(D)-8,18.
分析 逆用平移分式，将函数y=x-2x+1的顶点（1，0）先向下平移3个单位，再向右平移两个单位得原函数的图象的顶点为（3，-3）。
2?bx?c?(x?3)?3 ∴y=x
22=x?6x?6. ∴b=-6,c=6.
因此选（B）
五、弦比型
例 5 已知二次函y=ax+bx+c为x=2时有最大值2，其图象在X轴上截得的线段长为2，求这个二次函数的解析式。
22?a分析 弦长型的问题有两种思路，一是利用对称性求出交点坐标，二是用弦比公式d=
就本题而言，可由对称性求得两交点坐标为A（1，0），B（3，0）。再应用交点式或顶点式求得解析式为y=-2x+8x-6.
六、识图型
2.
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1212x?(b?2)x?cx?(b?2)x?d例 6 如图1， 抛物线y=2与y=2其中一条的顶点为P，
另一条与X轴交于M、N两点。
（1）试判定哪条抛物线与X轴交于M、N点？ （2）求两条抛物线的解析式。
12x?(b?2)x?c解 （1）抛物线y=2与x轴交于M，N两点
（过程从略）；
12x?(b?2)x?d2（2）因y=的顶点坐标为（0，1），
∴b-2=0,d=1, ∴b=2.
12x?12∴Y=.
12x将点N的坐标与b=2分别代入y=2+(b+2)x+c得c=6. 12x2∴y=+4x+6
七、面积型
2例 7 已知抛物线y=x?bx?c 的对称轴在 y轴的右侧，且抛物线与 y轴交于Q（0，-3），
与x轴的交点为A、B，顶点为P，ΔPAB的面积为8。求其解析式。
2解 将（0，-3）代入y=x?bx?c得 c=-3.
由弦长公式，得
AB?b2?12
.
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?12?b24点P的纵坐标为
由面积公式，得
12?12?b2b?12??8.24
解得b??2.
因对称轴在y 轴的右侧,∴ b=-2.
2所以解析式为y=x?2x?3
八、几何型
例 8 已知二次函数y=x-mx+2m-4如果抛物线与x轴相交的两个交点以及抛物线的顶点组成一个等边三角形，求其解析式。 解 由弦比公式，得AB=
2m2?4(2m?4)?m?4
(m?4)24顶点C的纵坐标为-
∵ΔABC为等边三角形
∴
(m?4)21??3?m?442
解得m=4?23,故所求解析式为 y=x?(4?23)x?4?43,
2x?(4?23)x?4?43 或y=
2
九、三角型
122 例 9已知抛物线y=x?bx?c的图象经过三点（0，25）、（sinA，0）、（sinB，0）且
A、B为直角三角形的两个锐角，求其解析式。 解 ∵A+B=90，∴sinB=cosA. 则由根与系数的关系，可得
0.
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?sinA?cosA??b??sinA?cosA?c
1212.2525将（0，）代入解析式，得c=
（1）?(2)?2,得
2b2?247?1,b??255 ∴
7∵-b?0,∴b=-5
x2?712x?525
所以解析式为y=
十、综合型
例 10 如图2，已知抛物线y=-x?px?q与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点， 若∠ACB=90，且tg∠CAO-tg∠CBO=2，求其解析式．
解 设A，B两点的横坐标分别为x1,x2,则q=(-x1)?x2?OA?OB. 由ΔAOC～ΔCOB，可得OC=OA·OB， ∴q=q解得q1=1,q2=0（舍去），
2202OCOC??2OAOB又由tg∠CAO-tg∠CBO=2得
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