第12讲 导数的概念及运算

1．导数的概念

(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数

一般地，称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率

Δx0lim →f(x0＋Δx)－f(x0)Δy

＝lim 为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x，即f′(x0)

ΔxΔx→0Δx0

＝lim →

Δx0

f(x0＋Δx)－f(x0)Δy

＝lim ． ΔxΔx→0Δx(2)导数的几何意义

函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．

(3)函数f(x)的导函数 称函数f′(x)＝lim →Δx0f(x＋Δx)－f(x)为f(x)的导函数．

Δx2．基本初等函数的导数公式

原函数 f(x)＝c(c为常数) f(x)＝xn(n∈Q*) f(x)＝sin x f(x)＝cos x f(x)＝ax(a>0且a≠1) f(x)＝ex f(x)＝logax(x>0，a>0且a≠1) f(x)＝ln x(x>0) 3.导数的运算法则 (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； (2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)； f(x)?f′(x)g(x)－f(x)g′(x)(3)?(g(x)≠0)． ?g(x)?′＝[g(x)]2

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

导函数 f′(x)＝0 f′(x)＝nxn1 －f′(x)＝cos x f′(x)＝－sin x f′(x)＝axln a f′(x)＝ex 1f′(x)＝ xln a1f′(x)＝ x(1)f′(x0)与[f(x0)]′表示的意义相同．( ) (2)求f′(x0)时，可先求f(x0)再求f′(x0)．( ) (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．( ) (4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．( ) (5)函数f(x)＝sin(－x)的导数是f′(x)＝cos x．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)× (5)×

(教材习题改编)函数y＝xcos x－sin x的导数为( ) A．xsin x C．xcos x

B．－xsin x D．－xcos x

解析：选B．y′＝x′cos x＋x(cos x)′－(sin x)′＝cos x－xsin x－cos x＝－xsin x. (教材习题改编)函数y＝f(x)的图象如图，则导函数f′(x)的大致图象为( )

解析：选B．由导数的几何意义可知，f′(x)为常数，且f′(x)＜0. 已知函数f(x)＝ax3＋3x2＋2，若f′(－1)＝4，则a的值等于( ) 19A．

313C．

3

16B．

310D．

3

10

解析：选D.f′(x)＝3ax2＋6x，f′(－1)＝3a－6＝4，所以a＝. 3

(教材习题改编)函数y＝xln x与x轴的交点为P，则曲线y＝xln x在点P处的切线方程为________．

解析：由y＝0得xln x＝0，即x＝1， 所以P点的坐标为(1，0)．

又y′＝ln x＋1，所以曲线在点P处的切线斜率为y′|x＝1＝ln 1＋1＝1. 故切线方程为y＝x－1. 答案：y＝x－1

若曲线y＝ex上点P处的切线平行于直线2x＋y＋1＝0，则点P的坐标是________．

－

解析：设P(x0，y0)，因为y＝ex，所以y′＝－ex，

－

－

所以点P处的切线斜率为k＝－e－x0＝－2， 所以－x0＝ln 2，所以x0＝－ln 2，

所以y0＝eln 2＝2，所以点P的坐标为(－ln 2，2)． 答案：(－ln 2，2)

导数的计算

[典例引领]

求下列函数的导数： (1)y＝x2sin x； 1

(2)y＝ln x＋；

xcos x(3)y＝x.

e

【解】 (1)y′＝(x2)′sin x＋x2(sin x)′＝2xsin x＋x2cos x. 1111ln x＋?′＝(ln x)′＋??′＝－2. (2)y′＝?x???x?xx

cos x?(cos x)′e－cos x(e)′sin x＋cos xx(3)y′＝?′＝＝－. x2?e?(e)ex

x

x

[注意] 求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；遇到函数的商的形式时，如能化简则化简，这样可避免使用商的求导法则，减少运算量．

[通关练习]

1．已知f(x)＝x(2 017＋ln x)，若f′(x0)＝2 018，则x0＝( ) A．e2 C．ln 2

解析：选B．因为f(x)＝x(2 017＋ln x)， 所以f′(x)＝2 017＋ln x＋1＝2 018＋ln x， 又f′(x0)＝2 018，

所以2 018＋ln x0＝2 018，所以x0＝1.

B．1 D．e