2021届高考数学全优二轮复习训练:专题3 第3讲 空间角的计算 下载本文

空间角的计算专题复习检测

A卷

π→→

1.在空间四边形OABC中,OB=OC,∠AOB=∠AOC=,则cos〈OA,BC〉等于( )

31A.

21C.-

2【答案】D

→→→→→→→→→→→→→→→

【解析】OA·BC=OA·(OC-OB)=OA·OC-OA·OB=|OA|·|OC|cos〈OA,OC〉-|OA|·|OBπ→→π→→→→→→|cos〈OA,OB〉=|OA|·|OC|cos-|OA|·|OB|cos=0,∴cos〈OA,BC〉=0.

33

2.已知长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=4,CC1=2,则直线BC1和平面DBB1D1

夹角的正弦值为( )

A.C.

3

210 5

B.D.

3

310 10B.

2

2

D.0

【答案】C

【解析】如图,建立空间直角坐标系,则B(4,0,0),C(4,4,0),C1(4,4,2),显然AC⊥平面→→→→

BB1D1D,所以AC=(4,4,0)为平面BB1D1D的一个法向量.又BC1=(0,4,2),所以cos〈BC1,AC〉→→BC1·AC==→→|BC1||AC|

1010=,即直线BC1和平面DBB1D1夹角的正弦值为. 55

16+4·16+16

16

9

3.已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直,体积为,底面是边长为3的正三角形.若

4P为底面A1B1C1的中心,则PA与平面ABC所成角的大小为( )

5πA.

12πC.

4【答案】B

【解析】如图,过P作PP′⊥平面ABC于P′,则P′为平面ABC的中心.连接AP′,

π

B.

3πD. 6

V

延长交BC于点M,则∠P′AP即为PA与平面ABC所成的角.由V=Sh,得h==

S

94

13

×3××322π

=.故选B. 3

2

=3,即PP′=3.又AP′=AM=1,所以tan∠P′AP=3.所以∠P′AP

3

4.二面角的棱上有A,B两点,直线AC,BD分别在这个二面角的两个半平面内且都垂直于AB.已知AB=4,AC=6,BD=8,CD=217,则该二面角的大小为( )

A.150° C.60° 【答案】C

→→→→→→→→→→→【解析】由条件知CA·AB=0,AB·BD=0,因为CD=CA+AB+BD,所以|CD|2=|CA|2+|AB→→→→→→→→→|2+|BD|2+2CA·AB+2AB·BD+2CA·BD=62+42+82+2×6×8cos〈CA,BD〉=(217)2.所以1→→→→→→cos〈CA,BD〉=-,则〈CA,BD〉=120°,即〈AC,BD〉=60°.所以二面角的大小为60°.

2

5.(2018年广东东莞模拟)如图,圆锥的底面直径AB=2,高OC=2,D为底面圆周上的一点,∠AOD=120°,则空间中两条直线AD与BC所成的角为( )

B.45° D.120°

A.30° C.75° 【答案】B

B.60° D.90°

【解析】如图,取弧AB中点E,以O为原点,OE所在直线为x轴,OB所在直线为y轴,OC所在直线为z轴建立空间直角坐标系.由题意得A(0,-1,0),B(0,1,0),C(0,0,2),D?

31→?33?→?,BC=(0,-1,2).设直线AD与BC所成的角为θ,则,,0,则AD=

?22??2,2,0?

→→|AD·BC|1

cos θ==,∴θ=60°.故选B.

→→2|AD|·|BC|

6.(2019年上海改编)已知向量a=(1,0,2),b=(2,1,0),则a与b的夹角的余弦值为________. 2【答案】

5

a·b2+0+02

【解析】cos θ===. |a||b|5×55

7.如图,已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各条棱长都相等,M是侧棱CC1的中点,则异面直线AB1和BM所成的角的大小是________.

【答案】90°

→→→→→1→→→

【解析】不妨设棱长为2,则AB1=BB1-BA,BM=BC+BB1,cos〈AB1,BM〉=

2→→?→1→????BB

?1-BA?·?BC+2BB1??|0-2+2-0|

22×5

=22×5

→→

=0,所以〈AB1,BM〉=90°.

8.正方形ABCD所在平面外有一点P,PA⊥平面ABCD,若PA=AB,则平面PAB与平面PCD的夹角的余弦值为________.

【答案】45°

【解析】建立如图所示的空间直角坐标系,设PA=AB=1.则A(0,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1).于1111→→→

0,,?,∴AE=?0,,?.易知AD是平面PAB的法是AD=(0,1,0).取PD中点为E,则E??22??22?2→→→

向量,AE是平面PCD的法向量,∴cos〈AD,AE〉=,∴平面PAB与平面PCD的夹角为

245°.