高中数学第一章-集合

考试内容：

集合、子集、补集、交集、并集．

逻辑联结词．四种命题．充分条件和必要条件．

考试要求：（1）理解集合、子集、补集、交集、并集的概念；了解空集和全集的意义；了解属于、包含、相等关系的意义；掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合．

（2）理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义理解四种命题及其相互关系；掌握充分条件、必要条件及充要条件的意义．

§01. 集合与简易逻辑 知识要点

一、知识结构:

本章知识主要分为集合、简单不等式的解法（集合化简）、简易逻辑三部分：

二、知识回顾：

（一） 集合

1. 基本概念：集合、元素；有限集、无限集；空集、全集；符号的使用. 2. 集合的表示法：列举法、描述法、图形表示法. 集合元素的特征：确定性、互异性、无序性. 集合的性质：

①任何一个集合是它本身的子集，记为A?A； ②空集是任何集合的子集，记为??A； ③空集是任何非空集合的真子集； 如果A?B，同时B?A，那么A = B. 如果A?B，B?C，那么A?C.

[注]：①Z= {整数}（√） Z ={全体整数} （×）

②已知集合S 中A的补集是一个有限集，则集合A也是有限集.（×）（例：S=N； A=N?，则CsA= {0}） ③ 空集的补集是全集.

④若集合A=集合B，则CBA = ?， CAB = ? CS（CAB）= D （ 注 ：CAB = ?）. 3. ①{（x，y）|xy =0，x∈R，y∈R}坐标轴上的点集. ②{（x，y）|xy＜0，x∈R，y∈R

?二、四象限的点集.

③{（x，y）|xy＞0，x∈R，y∈R} 一、三象限的点集. [注]：①对方程组解的集合应是点集. 例： ??x?y?3 解的集合{(2，1)}.

2x?3y?1?②点集与数集的交集是?. （例：A ={(x，y)| y =x+1} B={y|y =x2+1} 则A∩B =?） 4. ①n个元素的子集有2n个. ②n个元素的真子集有2n －1个. ③n个元素的非空真子

集有2n－2个.

5. ⑴①一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真. 否命题?逆命题. ②一个命题为真，则它的逆否命题一定为真. 原命题?逆否命题. 例：①若a?b?5，则a?2或b?3应是真命题.

解：逆否：a = 2且 b = 3，则a+b = 5，成立，所以此命题为真. ②x?1且y?2， x?y?3. 解：逆否：x + y =3

?x?1且y?2x = 1或y = 2.

x?y?3,故x?y?3是x?1且y?2的既不是充分，又不是必要条件.

⑵小范围推出大范围；大范围推不出小范围. 3. 例：若x?5，?x?5或x?2. 4. 集合运算：交、并、补.

交：AIB?{x|x?A,且x?B}并：AUB?{x|x?A或x?B} 补：CUA?{x?U,且x?A}5. 主要性质和运算律 （1） 包含关系：

A?A,??A,A?U,CUA?U,A?B,B?C?A?C;AIB?A,AIB?B;AUB?A,AUB?B.（2） 等价关系：A?B?AIB?A?AUB?B?CUAUB?U （3） 集合的运算律：

交换律：A?B?B?A;A?B?B?A.

结合律:(A?B)?C?A?(B?C);(A?B)?C?A?(B?C) 分配律:.A?(B?C)?(A?B)?(A?C);A?(B?C)?(A?B)?(A?C) 0-1律：?IA??,?UA?A,UIA?A,UUA?U

等幂律：A?A?A,A?A?A.

求补律：A∩CUA=φ A∪CUA=U ?CUU=φ ?CUφ=U

反演律：CU(A∩B)= (CUA)∪(CUB) CU(A∪B)= (CUA)∩(CUB)

6. 有限集的元素个数

定义：有限集A的元素的个数叫做集合A的基数，记为card( A)规定 card(φ) =0.

基本公式：

(1)card(AUB)?card(A)?card(B)?card(AIB)(2)card(AUBUC)?card(A)?card(B)?card(C)

?card(AIB)?card(BIC)?card(CIA)?card(AIBIC)(3) card(?UA)= card(U)- card(A)

(二)含绝对值不等式、一元二次不等式的解法及延伸 1.整式不等式的解法 根轴法（零点分段法）

①将不等式化为a0(x-x1)(x-x2)…(x-xm)>0(<0)形式，并将各因式x的系数化“+”；(为了统一方便)

②求根，并在数轴上表示出来；

③由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点（为什么？）；

④若不等式（x的系数化“+”后）是“>0”,则找“线”在x轴上方的区间；若不等式是“<0”,则找“线”在x轴下方的区间.

x1x2x3xm-3-xm-2xm-1+-xm+x

（自右向左正负相间）

则不等式a0xn?a1xn?1?a2xn?2???an?0(?0)(a0?0)的解可以根据各区间的符号确定.

特例① 一元一次不等式ax>b解的讨论；

2

②一元二次不等式ax+box>0(a>0)解的讨论. ??0 ??0 二次函数 ??0 y?ax2?bx?c （a?0）的图象 一元二次方程 有两相异实根 有两相等实根 无实根 ax2?bx?c?0?a?0?的根x1,x2(x1?x2) bx1?x2?? 2a