课 题： 10．4二项式定理(三)

教学目的：

1理解和掌握二项式系数的性质，并会简单的应用； 2.初步了解用赋值法是解决二项式系数问题；

3.能用函数的观点分析处理二项式系数的性质，提高分析问题和解决问题的能力 教学重点：二项式系数的性质及其对性质的理解和应用 教学难点：二项式系数的性质及其对性质的理解和应用 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入：

1．二项式定理及其特例：

n0n1n（1）(a?b)?Cna?Cnab?n1（2）(1?x)?1?Cnx?rn?rr?Cnab?nn?Cnb(n?N?)，

rr?Cnx??xn.

rn?rr2．二项展开式的通项公式：Tr?1?Cnab 3．求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对r的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性 二、讲解新课：

1 二项式系数表（杨辉三角）

(a?b)n展开式的二项式系数，当n依次取1,2,3…时，

二项式系数表，表中每行两端都是1，除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和 2．二项式系数的性质：

102nr(a?b)n展开式的二项式系数是Cn，Cn，Cn，…，Cn．Cn可以看成以r为自变量的函数f(r) 定义域是{0,1,2,,n}，例当n?6时，其图象是7个孤立的

点（如图）

（1）对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等

mn?m（∵Cn?Cn）．

直线r?n是图象的对称轴． 2kn(n?1)(n?2)(n?k?1)k?1n?k?1， ?Cn?k!kn?k?1n?k?1n?1kk?1∴Cn相对于Cn的增减情况由决定，， ?1?k?kk2n?1当k?时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，

2（2）增减性与最大值．∵Cn?且在中间取得最大值；

当n是偶数时，中间一项C取得最大值；当n是奇数时，中间两项C取得最大值．

（3）各二项式系数和：

n1∵(1?x)?1?Cnx?rr?Cnx?n2nn?12n，Cn?12n?xn，

r?Cn?n?Cn n012令x?1，则2?Cn?Cn?Cn?三、讲解范例：

例1．在(a?b)的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和 nn0n1n证明：在展开式(a?b)?Cna?Cnab?rn?rr?Cnab?nn?Cnb(n?N?)n0123中，令a?1,b??1，则(1?1)?Cn?Cn?Cn?Cn?02即0?(Cn?Cn?02∴Cn?Cn?13)?(Cn?Cn?n?(?1)nCn，

)，

13?Cn?Cn?，

即在(a?b)的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和．

02说明：由性质（3）及例1知Cn?Cn?72例2．已知(1?2x)?a0?a1x?a2x?n13?Cn?Cn??2n?1.

?a7x7，求：

a1?a2?（1）|a0|?|a1|??a7；a1?a3?a5?a7； （2） （3）

77?|a7|.

解：（1）当x?1时，(1?2x)?(1?2)??1，展开式右边为

a0?a1?a2?∴a0?a1?a2??a7

?a7??1，

?a7??1?1??2，

当x?0时，a0?1，∴a1?a2?（2）令x?1， a0?a1?a2??a7??1 ①

7令x??1，a0?a1?a2?a3?a4?a5?a6?a7?3 ②

1?37①?② 得：2(a1?a3?a5?a7)??1?3，∴ a1?a3?a5?a7??.

27（3）由展开式知：a1,a3,a5,a7均为负，a0,a2,a4,a8均为正，

7∴由（2）中①+② 得：2(a0?a2?a4?a6)??1?3，

?1?37∴ a0?a2?a4?a6?，

2∴|a0|?|a1|??|a7|?a0?a1?a2?a3?a4?a5?a6?a7

?(a0?a2?a4?a6)?(a1?a3?a5?a7)?37 例3.求(1+x)+(1+x)+…+(1+x)展开式中x的系数 2103

(1?x)[1?(1?x)10]（1?x）?解：(1?x)?(1?x)??

1?(1?x)210(x?1)11?(x?1)=，

x∴原式中x实为这分子中的x，则所求系数为C11 347

例4.在(x+3x+2)的展开式中，求x的系数 25