概率论与数理统计课后习题答案 - - - - 复旦版 下载本文

0 0 0 22C3?C23 ?4C73521C3?C1?C1222 ?4C73522C3?C23 ?4C735C3C123?2 ?4C7351C3?C232 ?4C7351 0 12C1?C?C6322 ?4C7352 P(0黑,2红,2白)= 121C3?C2?C26? 1244C2?C/C? C735227350

3.设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为

ππ??sinxsiny,0?x?,0?y?F(x,y)=?22

?其他.?0,ππ?求二维随机变量(X,Y)在长方形域?0?x?,?y?46?π??内的概率. 3?【解】如图P{0?X?πππ,?Y?}公式(3.2) 463ππππππF(,)?F(,)?F(0,)?F(0,) 434636

ππππππ?sin?sin?sin?sin?sin0?sin?sin0?sin434636

2?(3?1).4

题3图

说明:也可先求出密度函数,再求概率。 4.设随机变量(X,Y)的分布密度

?Ae?(3x?4y),x?0,y?0,f(x,y)=?

其他.?0,求:(1) 常数A;

(2) 随机变量(X,Y)的分布函数; (3) P{0≤X<1,0≤Y<2}.

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【解】(1) 由??????????f(x,y)dxdy?????4y)0???0Ae-(3xdxdy?A12?1 得 A=12 (2) 由定义,有 F(x,y)??y???x??fu(v,u)dv d ???yy?(3u?v4???d)udv???(1?e?3x)(1?e?4y0012e)y?0,x?0,??0,?0,其他 (3) P{0?X?1,0?Y?2}

?P{0?X?1,0?Y?2}

??14y)0?2012e?(3x?dxdy?(1?e?3)(1?e?8)?0.9499.

5.设随机变量(X,Y)的概率密度为

f(x,y)=??k(6?x?y),0?x?2,2?y?4,?0,其他.

(1) 确定常数k;

(2) 求P{X<1,Y<3}; (3) 求P{X<1.5}; (4) 求P{X+Y≤4}. 【解】(1) 由性质有

?????4?????f(x,y)dxdy??20?2k(6?x?y)dydx?8k?1,

故 R?18 (2) P{X?1,Y?3}??1???3??f(x,y)dydx

??1310?28k(6?x?y)dydx?38 (3) P{X?1.5}?f(x,y)dxdy如图ax???1.5??f(x,y)dxdy

D1 ??1.0d5x?1428(6?x?y)dy?2732. (4) P{X?Y?4}?f(x,y)dxdy如图bX???Y?4??f(x,y)dxdy

D2 ??24?x10dx?28(6?x?y)dy?23. 12

题5图

6.设X和Y是两个相互独立的随机变量,X在(0,0.2)上服从均匀分布,Y的

密度函数为

f)=??5e?5y,y?0,Y(y

?0,其他.求:(1) X与Y的联合分布密度;(2) P{Y≤X}.

题6图

【解】(1) 因X在(0,0.2)上服从均匀分布,所以X的密度函数为

?fx)??1?,0?x?0.2,X( ?0.2?0,其他.而

f???5e?5y,y?0,Y(y) ?0,其他.所以

f(x,yX)Y,独立fXx(?fY)y ()?1?5y ???0.2?5e??25e?5y,0?x?0.2且y?0, ???0,?0,其他.(2) P(Y?X)?f(x,y)dxdy如图ydxdy

y???x??25e?5D0.2x-5y0.2

??0dx?025edy??0(?5e?x5?5)dx

=e-1?0.3679.7.设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为

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,y)=??(1?e?4x)(1?e?2yF(x),x?0,y?0,?0,其他.

求(X,Y)的联合分布密度.

?2F(x,y)?8e?(4x?2y)【解】f(x,y)??x?y??,x?0,y?0,?0,其他.

8.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为

f(x,y)=??4.8y(2?x),0?x?1,0?y?x,?0,其他.

求边缘概率密度. 【解】fX(x)??????f(x,y)dy

=????x04.8y(?2xy)?d??2.4x2(?2x),?x0?1,??0,?0,其他.

fY(y)??????f(x,y) dx?1 =???y4.8y(?2xx)?d???2.4y(?3y4?y2),?y0?1,?0,?0,其他.

题8图 题9图

9.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为

f(x,y)=??e?y,0?x?y,?0,其他.

求边缘概率密度. 【解】f??X(x)????f(x,y)dy

???y? =????y??exxed,x?0,?? ?0,?0,其他.fY(y)??????f(x,y)dx

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y?y?x???0edx?ye,y?0, =? ??其他.?0,??0, 题10图

设二维随机变量(X,Y)的概率密度为

f(x,y)=??cx2y,x2?y?1,?0,其他.

(1) 试确定常数c;

(2) 求边缘概率密度. (1)

??????????f(x,y)dxdy如图??f(x,y)dxdy

D =?114-1dx?x2cx2ydy?21c?1. 得c?214. (2) f)????X(x??f(x,y)dy

? ??1212?2124??x2?4xydy???x(1?x),?1?x?1,?0,?8?0,其他.fY(y)??????f(x,y)dx

?????y212x?75?yxyd??y2,0?y?1,?4? ?0,?2?0, 其他.设随机变量(X,Y)的概率密度为

f(x,y)=??1,y?x,0?x?1,?0,其他.

求条件概率密度fY|X(y|x),fX|Y(x|y).

10.【解】 11. 15