0 0 0 22C3?C23 ?4C73521C3?C1?C1222 ?4C73522C3?C23 ?4C735C3C123?2 ?4C7351C3?C232 ?4C7351 0 12C1?C?C6322 ?4C7352 P(0黑,2红,2白)= 121C3?C2?C26? 1244C2?C/C? C735227350
3.设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为
ππ??sinxsiny,0?x?,0?y?F（x，y）=?22
?其他.?0,ππ?求二维随机变量（X，Y）在长方形域?0?x?,?y?46?π??内的概率. 3?【解】如图P{0?X?πππ,?Y?}公式(3.2) 463ππππππF(,)?F(,)?F(0,)?F(0,) 434636
ππππππ?sin?sin?sin?sin?sin0?sin?sin0?sin434636
2?(3?1).4
题3图
说明：也可先求出密度函数，再求概率。 4.设随机变量（X，Y）的分布密度
?Ae?(3x?4y),x?0,y?0,f（x，y）=?
其他.?0,求：（1） 常数A；
（2） 随机变量（X，Y）的分布函数； （3） P{0≤X<1，0≤Y<2}.
11
【解】（1） 由??????????f(x,y)dxdy?????4y)0???0Ae-(3xdxdy?A12?1 得 A=12 （2） 由定义，有 F(x,y)??y???x??fu(v,u)dv d ???yy?(3u?v4???d)udv???(1?e?3x)(1?e?4y0012e)y?0,x?0,??0,?0,其他 (3) P{0?X?1,0?Y?2}
?P{0?X?1,0?Y?2}
??14y)0?2012e?(3x?dxdy?(1?e?3)(1?e?8)?0.9499.
5.设随机变量（X，Y）的概率密度为
f（x，y）=??k(6?x?y),0?x?2,2?y?4,?0,其他.
（1） 确定常数k；
（2） 求P{X＜1，Y＜3}； （3） 求P{X<1.5}； （4） 求P{X+Y≤4}. 【解】（1） 由性质有
?????4?????f(x,y)dxdy??20?2k(6?x?y)dydx?8k?1,
故 R?18 （2） P{X?1,Y?3}??1???3??f(x,y)dydx
??1310?28k(6?x?y)dydx?38 (3) P{X?1.5}?f(x,y)dxdy如图ax???1.5??f(x,y)dxdy
D1 ??1.0d5x?1428(6?x?y)dy?2732. (4) P{X?Y?4}?f(x,y)dxdy如图bX???Y?4??f(x,y)dxdy
D2 ??24?x10dx?28(6?x?y)dy?23. 12
题5图
6.设X和Y是两个相互独立的随机变量，X在（0，0.2）上服从均匀分布，Y的
密度函数为
f）=??5e?5y,y?0,Y（y
?0,其他.求：（1） X与Y的联合分布密度；（2） P{Y≤X}.
题6图
【解】（1） 因X在（0，0.2）上服从均匀分布，所以X的密度函数为
?fx)??1?,0?x?0.2,X( ?0.2?0,其他.而
f???5e?5y,y?0,Y(y) ?0,其他.所以
f(x,yX)Y,独立fXx(?fY)y ()?1?5y ???0.2?5e??25e?5y,0?x?0.2且y?0, ???0,?0,其他.(2) P(Y?X)?f(x,y)dxdy如图ydxdy
y???x??25e?5D0.2x-5y0.2
??0dx?025edy??0(?5e?x5?5)dx
=e-1?0.3679.7.设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为
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，y）=??(1?e?4x)(1?e?2yF（x),x?0,y?0,?0,其他.
求（X，Y）的联合分布密度.
?2F(x,y)?8e?(4x?2y)【解】f(x,y)??x?y??,x?0,y?0,?0,其他.
8.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为
f（x，y）=??4.8y(2?x),0?x?1,0?y?x,?0,其他.
求边缘概率密度. 【解】fX(x)??????f(x,y)dy
=????x04.8y(?2xy)?d??2.4x2(?2x),?x0?1,??0,?0,其他.
fY(y)??????f(x,y) dx?1 =???y4.8y(?2xx)?d???2.4y(?3y4?y2),?y0?1,?0,?0,其他.
题8图 题9图
9.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为
f（x，y）=??e?y,0?x?y,?0,其他.
求边缘概率密度. 【解】f??X(x)????f(x,y)dy
???y? =????y??exxed,x?0,?? ?0,?0,其他.fY(y)??????f(x,y)dx
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y?y?x???0edx?ye,y?0, =? ??其他.?0,??0, 题10图
设二维随机变量（X，Y）的概率密度为
f（x，y）=??cx2y,x2?y?1,?0,其他.
（1） 试确定常数c；
（2） 求边缘概率密度. （1）
??????????f(x,y)dxdy如图??f(x,y)dxdy
D =?114-1dx?x2cx2ydy?21c?1. 得c?214. (2) f)????X(x??f(x,y)dy
? ??1212?2124??x2?4xydy???x(1?x),?1?x?1,?0,?8?0,其他.fY(y)??????f(x,y)dx
?????y212x?75?yxyd??y2,0?y?1,?4? ?0,?2?0, 其他.设随机变量（X，Y）的概率密度为
f（x，y）=??1,y?x,0?x?1,?0,其他.
求条件概率密度fY｜X（y｜x），fX｜Y（x｜y）.
10.【解】 11. 15