求（1） E（X+Y）;（2） E（2X??3Y2）. 【解】(X)??????xfX(x)dx???0x?2edx?[?xe?2x???2x??00]?e-2xdx
x? ??e?2xd0??1 .2?? E(Y)??2??????1?4yyf(y)dy?y4e?dy Y?04yfY(y)dy??2??24y?4e?ydy?.21?.
??0428113从而(1)E(X?Y)?E(X)?E(Y)???.
244115(2)E(2X?3Y2)?2E(X)?3E(Y2)?2??3??
288
12.袋中有12个零件，其中9个合格品，3个废品.安装机器时，从袋中一个一个
地取出（取出后不放回），设在取出合格品之前已取出的废品数为随机变量X，求E（X）和D（X）.
【解】设随机变量X表示在取得合格品以前已取出的废品数，则X的可能取值
为0，1，2，3.为求其分布律，下面求取这些可能值的概率，易知
939??0.7 5 0, P{X?1}???0.204, P{X?0} 1212113293219????0.0 4 1, P{X?3}?????0.0 05. P{X?2} 1211101211109于是，得到X的概率分布表如下： X 0 1 2 3 P 0.750 0.204 0.041 0.005 E(Y)??由此可得E(X)?0?0.750?1?0.204?2?0.041?3?0.005?0.301.
22E(X2)?0?75?0?120?.20?422?0.?041?3D(X)?EX(2?)E[X(2?)]0?.413(2?0.301)0.0050.413
0.322.
题29图
29.设随机变量X和Y的联合分布在点（0，1），（1，0）及（1，1）为顶点的三
角形区域上服从均匀分布.（如图），试求随机变量U=X+Y的方差. 【解】D(U)=D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)
=D(X)+D(Y)+2[E(XY)??E(X)·E(Y)]. 由条件知X和Y的联合密度为
21
f(x,y)???2,(x,y)?G,?0,t?0. G?{(x,y)|?0x?1,?0y?x1?,y?
从而fX(x)??????f(x,y)dy??11?x2dy?2x.
因此
E(X)??10xf102x2dx?32,E(X211X(x)dx??)??02x3dx?2,
D(X)?E(X2)?[E(X)]2?1412?9?18.
同理可得 E(Y)?312,D(Y)?18.
E(XY)???2xydxdy?2?1xdx?1G01?xydy?512, Cov(X,Y)?E(XY)?E(X)?E(Y)?512?419??36, 于是 D(U)?D(X?Y)?118?118?236?134.设随机变量X和Y的联合概率分布为 Y ??1 0 1 X 0 0.07 0.18 0.15 1 0.08 0.32 0.20 试求X和Y的相关系数ρ. 【解】由已知知E(X)=0.6,E(Y)=0.2，而XY的概率分布为
YX ??1 0 1 P 0.08 0.72 0.2 所以E（XY）=??0.08+0.2=0.12 Cov(X,Y)=E(XY)??E(X)·E(Y)=0.12??0.6×0.2=0
从而 ?XY=0
.
22
.18