课时作业22 平面向量数量积的物理背景及其含义

时间：45分钟 分值：100分

一、选择题(每小题6分，共计36分) 1．下面给出的关系式中正确的个数是( )

①0·a＝0；②a·b＝b·a；③a＝|a|；④|a·b|≤a·b；⑤(a·b)＝a·b. A．1 C．3

B．2 D．4

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2

解析：显然①②③正确；|a·b|≥a·b，④错误；(a·b)＝(|a|·|b|cosθ)＝

a2·b2cos2θ≠a2·b2，⑤错误，选C.

答案：C

→→

2．在Rt△ABC中，C＝90°，AC＝4，则AB·AC等于( ) A．－16 C．8

解析：方法一：因为cosA＝

B．－8 D．16

AC， AB→→→→→2

故AB·AC＝|AB||AC|cosA＝|AC|＝16，故选D. →→→→

方法二：AB在AC上的投影为|AB|cosA＝|AC|， →→→→→2

故AB·AC＝|AC||AB|cosA＝|AC|＝16，故选D. 答案：D

3．若非零向量a，b满足|a|＝|b|，(2a＋b)·b＝0，则a与b的夹角为( ) A．30° C．120°

B．60° D．150°

12

解析：因为(2a＋b)·b＝2a·b＋b·b＝0，所以a·b＝－|b|.设a与b的夹角为θ，

212－|b|2a·b1

则cosθ＝＝2＝－，故θ＝120°.

|a||b||b|2

答案：C

→→→→

4．在四边形ABCD中，AB＝DC，且AC·BD＝0，则四边形ABCD是( ) A．矩形 C．直角梯形

B．菱形 D．等腰梯形

→→→→

解析：由AB＝DC得四边形ABCD中一组对边平行且相等，由AC·BD＝0得两条对角线互相垂直，所以四边形ABCD为菱形．

答案：B

5．已知a⊥b，|a|＝2，|b|＝3，且3a＋2b与λa－b垂直，则实数λ的值为( ) 3A．－

23C．±

2

解析：∵3a＋2b与λa－b垂直， ∴(3a＋2b)·(λa－b)＝0，

即3λ|a|＋(2λ－3)a·b－2|b|＝0. ∵a⊥b，|a|＝2，|b|＝3， ∴a·b＝0，|a|＝4，|b|＝9， 3

∴12λ－18＝0，即λ＝.

2答案：B 6.

2

2

2

2

3B. 2D．1

→→→→

如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥DC.若|AB|＝a，|AD|＝b，则AC·BD＝( ) A．a－b B．b－a C．a＋b D．ab

→→→→

解析：因为AD⊥DC，所以AC在AD方向上的投影为|AC|cos∠CAD＝|AD|，因为AB⊥BC，→→→→→→→→→→

所以AC在AB方向上的投影为|AC|cos∠CAB＝|AB|，所以AC·BD＝AC·(AD－AB)＝AC·AD－→→→→→→

AC·AB＝|AD||AD|－|AB||AB|＝b2－a2.

答案：B

二、填空题(每小题8分，共计24分)

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2

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2

2

7．已知|a|＝2，|b|＝4，a·b＝3，则(2a－3b)·(2a＋b)＝________. 解析：原式＝4a－4a·b－3b＝4×4－4×3－3×16 ＝－44. 答案：－44

8．若e1，e2是夹角为________．

ππ1

解析：因为e1，e2是夹角为的两个单位向量，所以e1·e2＝|e1||e2|cos＝1×1×＝3321

， 2

|a|＝a＝(2e1＋e2)＝4e1＋4e1·e2＋e2 122

＝4×1＋4×＋1＝7，

2

|b|＝b＝(－3e1＋2e2)＝9e1－12e1·e2＋4e2 122

＝9×1－12×＋4×1＝7，

2

2

2

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2

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2

2

2

2

2

π

的两个单位向量，则a＝2e1＋e2与b＝－3e1＋2e2的夹角为3

a·b＝(2e1＋e2)·(－3e1＋2e2)

＝－6e1＋e1·e2＋2e2 1722

＝－6×1＋＋2×1＝－，

22设向量a与向量b的夹角为θ，

2

2

a·b1

cosθ＝＝＝－，

|a||b|27×7

又θ∈[0，π]，所以θ＝2π

答案： 3

→→

9．(2013·天津卷)在平行四边形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点．若AC·BE＝1，则AB的长为________．

12→→→1→→→→→1→解析：设|AB|＝x(x>0)，则AB·AD＝x.所以AC·BE＝(AD＋AB)·(AD－AB)＝1－x222111

＋x＝1，解得x＝，即AB的长为. 422

1答案： 2

2π. 3

7－2