七、设
f(z)??anz(z?R1),g(z)??bnzn(z?R2)，则对任意的r(0?r?R1)，在
nn?0n?0??z?rR2内?anbnzn?n?0?12?i??zd?f(?)g()?r??。
八、设在
z?R内解析的函数f(z)有泰勒展开式f(z)?a0?a1z?a2z2???anzn??
1试证当0?r?R时
2?九、将函数
?2?0f(re)d???anr2ni?n?02?2.
ln(2?z)在0?z?1?1内展开成洛朗级数.
z(z?1)?z???内下列展开式成立：
?十、试证在01zez??c0??cn(zn?n?111c?其中)n?zn??0e2cos?cosn?d?(n?0,1,2,?).
第五章 留 数
一、选择题：
1．函数
cot?z在z?i?2内的奇点个数为 ( )
2z?3（A）1 （B）2 （C）3 （D）4 2．设函数的( )
（A）可去奇点 （B）本性奇点 （C）m级极点 （D）小于m级的极点
f(z)与g(z)分别以z?a为本性奇点与m级极点，则z?a为函数f(z)g(z)
1?ex3．设z?0为函数4zsinz2的m级极点，那么m?( )
（A）5 （B）4 (C)3 （D）2 4．z?1是函数(z?1)sin1的( ) z?1(A)可去奇点 （B）一级极点 （C） 一级零点 （D）本性奇点
16
3?2z?z35．z??是函数
z2的( )
(A)可去奇点 （B）一级极点 （C） 二级极点 （D）本性奇点 6．设
f(z)??anzn在z?R内解析，k为正整数，那么Res[n?0?f(z),0]?( ) kz?1)!ak?1
（A）ak （B）k!ak （C）ak?1 （D）(k7．设z?a为解析函数f(z)的m级零点，那么Res[f?(z),a]?( ) f(z)(A)m （B）?m （C） m?1 （D）?(m?1)
0的是（ ）
8．在下列函数中，Res[f(z),0]?（A）
ez?1sinz1f(z)? （B）f(z)??
zzz2（C）
f(z)?sinz?coszz (D)
f(z)?11? zze?19．下列命题中，正确的是( ) （A） （B） （C） （D）
设
f(z)?(z?z0)?m?(z)，?(z)在z0点解析，m为自然数，则z0为f(z)的m级极点．
f(z)的可去奇点，那么Res[f(z),?]?0
如果无穷远点?是函数若z若
?0为偶函数f(z)的一个孤立奇点，则Res[f(z),0]?0
?f(z)dz?0，则f(z)在c内无奇点
c10． Res[z3cos2i,?]? ( ) z（A）?2222 （B） （C）i （D）?i
3333211．Res[z
e1z?i,i]? ( )
17
（A）?1515?i （B）??i （C）?i （D）?i 666612．下列命题中，不正确的是( ) （A）若z0(??)是f(z)的可去奇点或解析点，则Res[f(z),z0]?0
（B）若P(z)与Q(z)在z0解析，z0为Q(z)的一级零点，则Res[P(z0)P(z),z0]? Q(z)Q?(z0)为
自
然
数
，
则
（C）若
z0为
f(z)的
m级极点，
n?m1dnRes[f(z),z0]?limn[(z?z0)n?1f(z)]
n!x?x0dz（D）如果无穷远点
?为
f(z)的一级极点，则
z?0为
1f()z的一级极点，并且
1Res[f(z),?]?limzf()
z?0z13．设n?1为正整数，则
1dz?( ) ?nz?2z?1(A)0 （B）2?i （C）
2?in （D）2n?i
14．积分
?z?32z9dz?( ) 10z?1（A）0 （B）2?i （C）10 （D）
?i5
15．积分
12zsindz?( ) ?zz?1（A）0 （B）?二、填空题
?i1 （C）?36 （D）??i
18
1．设z?0为函数z3?sinz3的m级零点，那么m? ．
f(z)?11cosz在其孤立奇点
2．函数
zk?1k???2(k?0,?1,?2,??)处的留数
Res[f(z),zk]? ．
3．设函数
f(z)?exp{z2?1}，则Res[f(z),0]? z2f?(z),a]? ． f(z)4．设z?a为函数f(z)的m级极点，那么Res[5．双曲正切函数tanhz在其孤立奇点处的留数为 ． 6．设
f(z)?2z1?z2，则Res[f(z),?]? ．
7．设
f(z)?1?cosz，则Res[f(z),0]? ． 5z1z8．积分
z?1?z3edz? ．
9．积分
1dz? ． ?sinzz?1??xeixdx? ． 10．积分???1?x2三、计算积分
z?zsinz?1(ez?1?z)2dz．
4四、利用留数计算积分
???0d?a2?sin2?(a?0)
??五、利用留数计算积分
??x2?x?2dx 42x?10x?919
六、利用留数计算下列积分：
１．
???0??cos(x?1)xsinxcos2x ２．dxdx ?22??x?1x?1七、设
a为
f(z)的孤立奇点，
m为正整数，试证
a为
f(z)的
m级极点的充要条件是
lim(z?a)mf(z)?b，其中b?0为有限数．
z?a八、设a为f(z)的孤立奇点，试证：若f(z)是奇函数，则Res[f(z),a]?Res[f(z),?a]；若f(z)?Res[f(z),?a]．
f?(z)1?f(z)2是偶函数，则Res[f(z),a]?九、设
f(z)以a为简单极点，且在a处的留数为A，证明limz?a?1A.
十、若函数?(z)在z?1上解析，当z为实数时，?(z)取实数而且?(0)?0，f(x,y)表示?(x?iy)的虚部，试证明
?2?0tsin?f(cos?,sin?)d????(t)(?1?t?1)
1?2tcos??t2
20