§13.3 数学归纳法

基础知识：

数学归纳法

证明一个与正整数n有关的命题，可按以下步骤： (1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N＋)时命题成立；

(2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N＋)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立. 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.

基础练习：

1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当n＝1时结论成立.

( × )

(2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明.

( × )

(3)用数学归纳法证明问题时，归纳假设可以不用.

( × )

(4)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由n＝k到n＝k＋1时，项数都增加了一项. ( × )

(5)用数学归纳法证明等式“1＋2＋22＋?＋2n2＝2n3－1”，验证n＝1时，左边式子应

＋

＋

为1＋2＋22＋23.( √ )

(6)用数学归纳法证明凸n边形的内角和公式时，n0＝3.

( √ )

( )

1

2.在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n－3)条时，第一步检验n等于

2A.1

B.2

C.3

D.0

答案 C

解析 凸n边形的边最少有三条，故第一个值n0取3. 111

3.若f(n)＝1＋＋＋?＋(n∈N＋)，则f(1)为

236n－1A.1

1

B. 5

D.非以上答案

( )

1111C.1＋＋＋＋ 2345

答案 C

解析 等式右边的分母是从1开始的连续的自然数，且最大分母为6n－1，则当n＝1时，最大分母为5，故选C.

1114.设f(n)＝＋＋?＋，n∈N*，那么f(n＋1)－f(n)＝________.

n＋1n＋2n＋n答案

11

－ 2n＋12n＋2

1111111＋＋?＋＋＋－(＋＋?n＋2n＋3n＋nn＋1＋nn＋1＋n＋1n＋1n＋2

解析 f(n＋1)－f(n)＝＋

111111

)＝＋－＝－. n＋n2n＋12n＋2n＋12n＋12n＋2

111

5.用数学归纳法证明：“1＋＋＋?＋n1)”时，由n＝k(k>1)不等式成立，

232－1推理n＝k＋1时，左边应增加的项数是________. 答案 2k

111

解析 当n＝k时，要证的式子为1＋＋＋?＋k

232－1

111111

当n＝k＋1时，要证的式子为1＋＋＋?＋k＋k＋k＋?＋k＋1

232－122＋12－1左边增加了2k项.

深度分类剖析：

题型一 用数学归纳法证明等式

例1 求证：(n＋1)(n＋2)·?·(n＋n)＝2n·1·3·5·?·(2n－1)(n∈N＋). 思维启迪 证明时注意等式两边从n＝k到n＝k＋1时的变化. 证明 ①当n＝1时，等式左边＝2，右边＝2，故等式成立； ②假设当n＝k(k∈N＋)时等式成立，

即(k＋1)(k＋2)·?·(k＋k)＝2k·1·3·5·?·(2k－1)， 那么当n＝k＋1时，

左边＝(k＋1＋1)(k＋1＋2)·?·(k＋1＋k＋1) ＝(k＋2)(k＋3)·?·(k＋k)(2k＋1)(2k＋2) ＝2k·1·3·5·?·(2k－1)(2k＋1)·2 ＝2k1·1·3·5·?·(2k－1)(2k＋1)，

＋

这就是说当n＝k＋1时等式也成立. 由①②可知，对所有n∈N＋等式成立. 思维升华 用数学归纳法证明恒等式应注意 (1)明确初始值n0的取值并验证n＝n0时等式成立.

(2)由n＝k证明n＝k＋1时，弄清左边增加的项，且明确变形目标. (3)掌握恒等变形常用的方法：①因式分解；②添拆项；③配方法.

111n

用数学归纳法证明：对任意的n∈N*，＋＋?＋＝.

1×33×5?2n－1??2n＋1?2n＋1

11

证明 (1)当n＝1时，左边＝＝，

1×33

11

右边＝＝，左边＝右边，所以等式成立.

2×1＋13(2)假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，即有 111k＋＋?＋＝， 1×33×5?2k－1??2k＋1?2k＋1则当n＝k＋1时，

1111

＋＋?＋＋ 1×33×5?2k－1??2k＋1??2k＋1??2k＋3?＝

k?2k＋3?＋1k1

＋＝ 2k＋1?2k＋1??2k＋3??2k＋1??2k＋3?

2k2＋3k＋1k＋1k＋1＝＝＝， ?2k＋1??2k＋3?2k＋32?k＋1?＋1所以当n＝k＋1时，等式也成立. 由(1)(2)可知，对一切n∈N*等式都成立. 题型二 用数学归纳法证明不等式

31111

例2 已知函数f(x)＝ax－x2的最大值不大于，又当x∈[，]时，f(x)≥.

26428(1)求a的值；

11

(2)设0

2n＋1思维启迪 (1)利用题中条件分别确定a的范围，进而求a； (2)利用数学归纳法证明.

323a2a2

(1)解 由题意，知f(x)＝ax－x＝－(x－)＋. 22361aa21

又f(x)max≤，所以f()＝≤. 6366所以a2≤1.

111

又x∈[，]时，f(x)≥，

428

?所以?11

f??4?≥8，11f??≥，28

?即?a31?4－32≥8，a31－≥，288