指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质 下载本文

指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质

(一)指数与指数函数

1.根式

(1)根式的概念

根式的概念 如果xn?a,那么x叫做a的n次方根 当n为奇数时,正数的n次方根是一个正数,负数的n次方根是一个负数 当n为偶数时,正数的n次方根有两个,它们互为相反数

(2).两个重要公式

n为奇数 ?a? nn①a???a(a?0) ;

?|a|???a(a?0)n为偶数

??n②(na)?a(注意a必须使na有意义)。

n符号表示 备注 n?1且n?N? 零的n次方根是零 a ?na(a?0) 负数没有偶次方根 2.有理数指数幂 (1)幂的有关概念 ①正数的正分数指数幂:amn?nam(a?0,m、n?N?,且n?1);

mn②正数的负分数指数幂: a??1amn?1nam(a?0,m、n?N?,且n?1)

③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.

注:分数指数幂与根式可以互化,通常利用分数指数幂进行根式的运算。 (2)有理数指数幂的性质 ①aras=ar+s(a>0,r、s∈Q); ②(ar)s=ars(a>0,r、s∈Q); ③(ab)r=arbs(a>0,b>0,r∈Q);. 3.指数函数的图象与性质

1

y=ax 图象 a>1 00时,y>1; x<0时,00时,01 (3)在(-?,+?)上是增函数 (3)在(-?,+?)上是减函数 注:如图所示,是指数函数(1)y=ax,(2)y=bx,(3),y=cx(4),y=dx的图象,如何确定底数a,b,c,d与1之间的大小关系?

提示:在图中作直线x=1,与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值,即c1>d1>1>a1>b1,∴c>d>1>a>b。即无论在轴的左侧还是右侧,底数按逆时针方向变大。 (二)对数与对数函数 1、对数的概念 (1)对数的定义

如果a?N(a?0且a?1),那么数x叫做以a为底,N的对数,记作x?loga,其中a叫做对数的底数,N叫做真数。 (2)几种常见对数

对数形式 一般对数 常用对数 自然对数 2、对数的性质与运算法则

1gl(1)对数的性质(a?0,且a?1):①loga?0,②oxN特点 底数为aa?0,且a?1 底数为10 底数为e 记法 logaN lgN lnN gol③aa1?,aaN?N,④oglaNa ?N。

2

(2)对数的重要公式:

①换底公式:logbNlogaN?(a,b均为大于零且不等于1,N?0); bloga②loga?b1。 alogb(3)对数的运算法则:

如果a?0,且a?1,M?0,N?0那么 ①loga(MN)?logaM?logaN; ②logaM?logaM?logaN; Nn③logaM?nlogaM(n?R);

④logamb?nnlogab。 m3、对数函数的图象与性质 a?1 图象 性(1)定义域:(0,+?) 质 (2)值域:R (3)当x=1时,y=0即过定点(1,0) (4)当0?x?1时,y?(??,0); 当x?1时,y?(0,??) (5)在(0,+?)上为增函数 0?a?1 (4)当x?1时,y?(??,0); 当0?x?1时,y?(0,??) (5)在(0,+?)上为减函数 注:确定图中各函数的底数a,b,c,d与1的大小关系 提示:作一直线y=1,该直线与四个函数图象交点的横坐标即为它们相应的底数。

∴0

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