2013北京海淀区高三一模数学(理)试题答案 下载本文

海淀区高三年级第二学期期中练习

数 学 (理) 参考答案及评分标准

2013.4

说明: 合理答案均可酌情给分,但不得超过原题分数. 一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)

题号 答案 1 B 2 C 3 C 4 D 5 A 6 D 7 B 8 B 二、填空题(本大题共6小题,每小题5分, 有两空的小题,第一空3分,第二空2分, 共30分)

9.0 10.14 11.

24 512.3, 315 16 13.

4?a?1 9 14.2, (2k?1,2k),k?Z

三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15.(本小题满分13分)

解:(I)因为f(x)?2?(3sinx?cosx)2

= 2?(3sin2x?cos2x?23sinxcosx)?2?(1?2sin2x?3sin2x)………………2分 = 1?2sin2x?3sin2x

?cos2x?3sin2x………………4分 π= 2sin(2x?)………………6分所以

6πππ2πf()?2sin(2??)?2sin?3………………7分 4463所以 f(x)的周期为T?2π2π?= π………………9分 |?|2(II)当x?[?πππ2πππ5π,]时,2x?[?,],(2x?)?[?,] 6333666所以当x??ππ时,函数取得最小值f(?)??1………………11分 66当x?ππ时,函数取得最大值f()?2………………13分 6616.解:(I)因为“数学与逻辑”科目中成绩等级为B的考生有10人, 所以该考场有10?0.25?40人………………1分

所以该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为A的人数为

40?(1?0.375?0.375?0.15?0.025)?40?0.075?3………………3分

(II) 求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分为

1?(40?0.2)?2?(40?0.1)?3?(40?0.375)?4?(40?0.25)?5?(40?0.075)?2.9

40………………7分

(Ⅲ)设两人成绩之和为?,则?的值可以为16,17,18,19,20………………8分

211C615C6C12P(??16)?2?, P(??17)?22?

C1045C104511211C6C2C213C2C24P(??18)?2?2?? , P(??19)?2C10C1045C10452C21P(??20)?2?

C1045所以?的分布列为

X P ………………11分

16 17 18 19 20 15 4512 4513 454 45145 所以Eξ?16?1512134186?17??18??19??20?? 4545454545586………………13分 5所以?的数学期望为

17.证明:(I) 因为?ABC是正三角形,M是AC中点, 所以BM?AC,即BD?AC………………1分

又因为PA?平面ABCD,BD?平面ABCD,PA?BD………………2分 又PAAC?A,所以BD?平面PAC………………3分

又PC?平面PAC,所以BD?PC………………4分(Ⅱ)在正三角形ABC中,

BM?23………………5分

在?ACD中,因为M为AC中点,DM?AC,所以AD?CD

?CDA?120,所以DM?23,所以BM:MD?3:1………………6分 3在等腰直角三角形PAB中,PA?AB?4,PB?42,

所以BN:NP?3:1,BN:NP?BM:MD,所以MN//PD………………8分 又MN?平面PDC,PD?平面PDC,所以MN//平面PDC………………9分 (Ⅲ)因为?BAD??BAC??CAD?90,

所以AB?AD,分别以AB,AD, AP为x轴, y轴, z轴建立如图的空间直角坐标系,

zPN43所以B(4,0,0),C(2,23,0),D(0,,0),P(0,0,4)

3由(Ⅱ)可知,

xAMDCyBDB?(4,?43,0)为平面PAC的法向量………………10分 3PC?(2,23,?4),PB?(4,0,?4)

设平面PBC的一个法向量为n?(x,y,z),