海淀区高三年级第二学期期中练习

数 学 （理） 参考答案及评分标准

2013．4

说明： 合理答案均可酌情给分，但不得超过原题分数. 一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）

题号 答案 1 B 2 C 3 C 4 D 5 A 6 D 7 B 8 B 二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 有两空的小题，第一空3分，第二空2分， 共30分）

9．0 10．14 11.

24 512．3, 315 16 13．

4?a?1 9 14．2, (2k?1,2k),k?Z

三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15．（本小题满分13分）

解：（I）因为f(x)?2?(3sinx?cosx)2

= 2?(3sin2x?cos2x?23sinxcosx)?2?(1?2sin2x?3sin2x)………………2分 = 1?2sin2x?3sin2x

?cos2x?3sin2x………………4分 π= 2sin(2x?)………………6分所以

6πππ2πf()?2sin(2??)?2sin?3………………7分 4463所以 f(x)的周期为T?2π2π?= π………………9分 |?|2（II）当x?[?πππ2πππ5π,]时，2x?[?,]，(2x?)?[?,] 6333666所以当x??ππ时，函数取得最小值f(?)??1………………11分 66当x?ππ时，函数取得最大值f()?2………………13分 6616.解：（Ｉ）因为“数学与逻辑”科目中成绩等级为B的考生有10人， 所以该考场有10?0.25?40人………………1分

所以该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为A的人数为

40?(1?0.375?0.375?0.15?0.025)?40?0.075?3………………3分

(II) 求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分为

1?(40?0.2)?2?(40?0.1)?3?(40?0.375)?4?(40?0.25)?5?(40?0.075)?2.9

40………………7分

（Ⅲ）设两人成绩之和为?，则?的值可以为16，17，18，19，20………………8分

211C615C6C12P(??16)?2?， P(??17)?22?

C1045C104511211C6C2C213C2C24P(??18)?2?2?? ， P(??19)?2C10C1045C10452C21P(??20)?2?

C1045所以?的分布列为

X P ………………11分

16 17 18 19 20 15 4512 4513 454 45145 所以Eξ?16?1512134186?17??18??19??20?? 4545454545586………………13分 5所以?的数学期望为

17.证明：(I) 因为?ABC是正三角形，M是AC中点， 所以BM?AC,即BD?AC………………1分

又因为PA?平面ABCD，BD?平面ABCD，PA?BD………………2分 又PAAC?A，所以BD?平面PAC………………3分

又PC?平面PAC，所以BD?PC………………4分（Ⅱ）在正三角形ABC中，

BM?23………………5分

在?ACD中，因为M为AC中点，DM?AC，所以AD?CD

?CDA?120，所以DM?23，所以BM:MD?3:1………………6分 3在等腰直角三角形PAB中，PA?AB?4，PB?42，

所以BN:NP?3:1，BN:NP?BM:MD，所以MN//PD………………8分 又MN?平面PDC，PD?平面PDC，所以MN//平面PDC………………9分 （Ⅲ）因为?BAD??BAC??CAD?90，

所以AB?AD，分别以AB,AD, AP为x轴, y轴, z轴建立如图的空间直角坐标系，

zPN43所以B(4,0,0),C(2,23,0),D(0,,0),P(0,0,4)

3由（Ⅱ）可知，

xAMDCyBDB?(4,?43,0)为平面PAC的法向量………………10分 3PC?(2,23,?4)，PB?(4,0,?4)

设平面PBC的一个法向量为n?(x,y,z),