专题3：截长补短法

【典例引领】

例题：（2013黑龙江龙东地区）正方形ABCD的顶点A在直线MN上，点O是对角线AC、BD的交点，过点O作OE⊥MN于点E，过点B作BF⊥MN于点F。

（1）如图1，点O、B两点均在直线MN上方时，易证：AF+BF=2OE（不需证明）

（2）当正方形ABCD绕点A顺时针旋转至图2、图3的位置时，线段AF、BF、OE之间又有怎样的关系？请直接写出你的猜想，并选择一种情况给予证明。

【答案】图2结论：AF﹣BF=2OE，图3结论：BF-AF=2OE

【分析】（1）过点B作BG⊥OE于G，可得四边形BGEF是矩形，根据矩形的对边相等可得EF=BG，BF=GE，根据正方形的对角线相等且互相垂直平分可得OA=OB，∠AOB=90°，再根据同角的余角相等求出∠AOE=∠OBG，然后利用“角角边”证明△AOE和△OBG全等，根据全等三角形对应边相等可得OG=AE，OE=BG，再根据AF﹣EF=AE，整理即可得证；（2）选择图2，过点B作BG⊥OE交OE的延长线于G，可得四边形BGEF是矩形，根据矩形的对边相等可得EF=BG，BF=GE，根据正方形的对角线相等且互相垂直平分可得OA=OB，∠AOB=90°，再根据同角的余角相等求出∠AOE=∠OBG，然后利用“角角边”证明△AOE和△OBG全等，根据全等三角形对应边相等可得OG=AE，OE=BG，再根据AF﹣EF=AE，整理即可得证；选择图3同理可证．

【解答】（1）证明：如图，

过点B作BG⊥OE于G，

1

则四边形BGEF是矩形， ∴EF=BG，BF=GE，

在正方形ABCD中，OA=OB，∠AOB=90°， ∵BG⊥OE，

∴∠OBG+∠BOE=90°， 又∵∠AOE+∠BOE=90°， ∴∠AOE=∠OBG， ∵在△AOE和△OBG中，

，

∴△AOE≌△OBG（AAS）， ∴OG=AE，OE=BG，

∵AF﹣EF=AE，EF=BG=OE，AE=OG=OE﹣GE=OE﹣BF，∴AF﹣OE=OE﹣BF， ∴AF+BF=2OE；

（2）图2结论：AF﹣BF=2OE， 图3结论：AF﹣BF=2OE．

对图2证明：过点B作BG⊥OE交OE的延长线于G，

2

则四边形BGEF是矩形， ∴EF=BG，BF=GE，

在正方形ABCD中，OA=OB，∠AOB=90°， ∵BG⊥OE，

∴∠OBG+∠BOE=90°， 又∵∠AOE+∠BOE=90°， ∴∠AOE=∠OBG， ∵在△AOE和△OBG中，

，

∴△AOE≌△OBG（AAS）， ∴OG=AE，OE=BG，

∵AF﹣EF=AE，EF=BG=OE，AE=OG=OE+GE=OE+BF，∴AF﹣OE=OE+BF， ∴AF﹣BF=2OE； 若选图3，其证明方法同上

．

【强化训练】

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