最新整理初三数学教案数学竞赛平面几何讲座：四点

共圆问题

第四讲四点共圆问题

“四点共圆”问题在数学竞赛中经常出现，这类问题一般有两种形式：一是以“四点共圆”作为证题的目的，二是以“四点共圆”作为解题的手段，为解决其他问题铺平道路.

1“四点共圆”作为证题目的

例1．给出锐角△ABC，以AB为直径的圆与AB边的高CC′及其延长线交于M，N.以AC为直径的圆与AC边的高BB′及其延长线将于P，Q.求证：M，N，P，Q四点共圆.

分析：设PQ，MN交于K点，连接AP，AM. 欲证M，N，P，Q四点共圆，须证 MK KN＝PK KQ，

即证(MC′-KC′)(MC′+KC′) ＝(PB′-KB′) (PB′+KB′) 或MC′2-KC′2=PB′2-KB′2.① 不难证明AP=AM，从而有 AB′2+PB′2=AC′2+MC′2. 故MC′2-PB′2=AB′2-AC′2 =(AK2-KB′2)-(AK2-KC′2) =KC′2-KB′2.② 由②即得①，命题得证.

例2．A、B、C三点共线，O点在直线外，

O1，O2，O3分别为△OAB，△OBC， △OCA的外心.求证：O，O1，O2， O3四点共圆.

分析：作出图中各辅助线.易证O1O2垂直平分OB，O1O3垂直平分OA.观察△OBC及其外接圆，立得∠OO2O1=∠OO2B=∠OCB.观察△OCA及其外接圆，立得∠OO3O1=∠OO3A=∠OCA.

由∠OO2O1=∠OO3O1O，O1，O2，O3共圆.

利用对角互补，也可证明O，O1，O2，O3四点共圆，请同学自证. 2以“四点共圆”作为解题手段

这种情况不仅题目多，而且结论变幻莫测，可大体上归纳为如下几个方面. (1)证角相等

例3．在梯形ABCD中，AB∥DC，AB＞CD，K，M分别在AD，BC上，∠DAM＝∠CBK.

求证：∠DMA＝∠CKB.

分析：易知A，B，M，K四点共圆.连接KM， 有∠DAB＝∠CMK.∵∠DAB+∠ADC ＝180°，

∴∠CMK+∠KDC＝180°.

故C，D，K，M四点共圆∠CMD＝∠DKC. 但已证∠AMB＝∠BKA， ∴∠DMA＝∠CKB. (2)证线垂直

例4．⊙O过△ABC顶点A，C，且与AB，

BC交于K，N(K与N不同).△ABC 外接圆和△BKN外接圆相交于B和 M.求证：∠BMO=90°.

分析：这道国际数学竞赛题，曾使许多选手望而却步.其实，只要把握已知条件和图形特点，借助“四点共圆”，问题是不难解决的.

连接OC，OK，MC，MK，延长BM到G.易得∠GMC= ∠BAC=∠BNK=∠BMK.而∠COK=2 ∠BAC=∠GMC+ ∠BMK=180°-∠CMK，

∴∠COK+∠CMK=180°C，O，K，M四点共圆. 在这个圆中，由 OC=OKOC=OK∠OMC=∠OMK. 但∠GMC=∠BMK， 故∠BMO=90°. (3)判断图形形状

例5．四边形ABCD内接于圆，△BCD，△ACD，△ABD，△ABC的内心依次记为IA，IB，IC，ID.

试证：IAIBICID是矩形.

分析：连接AIC，AID，BIC，BID和DIB.易得 ∠AICB=90°+∠ADB=90°+ ∠ACB=∠AIDBA，B，ID，IC四点 共圆.

同理，A，D，IB，IC四点共圆.此时 ∠AICID=180°-∠ABID=180°-∠ABC，