D [由函数的图象知：当x＜0时，函数单调递增，导数应始终为正；当x＞0时，函数先增后减再增，导数应先正后负再正，对照选项，只有D正确．]

?3?(2)函数y＝f(x)在定义域?－，3?内可导，其图象如图3-3-4，记y＝f(x)的导函数为?2?

y＝f′(x)，则不等式f′(x)<0的解集为__________．

图3-3-4

?－1，1?∪(2,3) [根据导数和图象单调性的关系知当x∈?－1，1?∪(2,3)时?3??3?????

f′(x)<0.]

已知函数的单调性求参数的取值范围 [探究问题] 1．在区间(a，b)内，若f′(x)＞0，则f(x)在此区间上单调递增，反之也成立吗？ 提示：不一定成立．比如y＝x在R上为增函数，但其在x＝0处的导数等于零．也就是说f′(x)＞0是y＝f(x)在某个区间上递增的充分条件．

2．一般地，在区间(a，b)内函数的单调性与导数有什么关系？ 提示：

函数的单调性 单调递增 单调递减 常函数 已知函数f(x)＝x－ax－1， (1)若f(x)在区间(1，＋∞)内为增函数，求a的取值范围；

33

导数 f′(x)≥0且f′(x)不恒为0 f′(x)≤0且f′(x)不恒为0 f′(x)＝0 (2)若f(x)的单调递减区间为(－1,1)，求a的值．

[思路探究] (1)转化为f′(x)≥0在(1，＋∞)上恒成立，求a的范围； (2)由f′(x)＜0，求单调减区间，对比已知，求a的值．

[解] (1)因为f′(x)＝3x－a，且f(x)在区间(1，＋∞)上为增函数，

所以f′(x)≥0在(1，＋∞)上恒成立，即3x－a≥0在(1，＋∞)上恒成立，所以a≤3x在(1，＋∞)上恒成立，即a≤3.

(2)f′(x)＝3x－a.

①当a≤0时，f′(x)≥0，无减区间，不满足条件． ②当a＞0时，令3x－a＝0，得x＝±当－3a3a＜x＜时，f′(x)＜0. 33

2

2

2

2

2

3a； 3

因此f(x)在?－所以??3a3a?，?上为减函数． 33?

3a＝1，即a＝3. 3

[规律方法] 1.利用导数法解决取值范围问题的两个基本思路 (1)将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，利用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取“＝”时是否满足题意． (2)先令f′(x)>0(或f′(x)<0)，求出参数的取值范围后，再验证参数取“＝”时f(x)是否满足题意． 2．恒成立问题的重要思路 (1)m≥f(x)恒成立?m≥f(x)max. (2)m≤f(x)恒成立?m≤f(x)min. [跟踪训练] 3．(1)若函数f(x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)上单调递增，则k的取值范围是__________.

【导学号：97792148】

1[1，＋∞) [由于f′(x)＝k－，f(x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)上单调递增?f′(x)

x1

＝k－≥0在(1，＋∞)上恒成立．

x11

由于k≥，而0<<1，所以k≥1.

xx即k的取值范围为[1，＋∞)．]

(2)已知函数f(x)＝x＋2aln x. ①试讨论函数f(x)的单调区间

2

②若函数g(x)＝＋f(x)在[1,2]上是减函数，求实数a的取值范围．

2

x2a2x＋2a[解] ①f′(x)＝2x＋＝，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．

2

xxⅠ.当a≥0时，f′(x)>0，

f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)；

Ⅱ.当a<0时，

f′(x)＝

x＋－axx－－a，

当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

x f′(x) f(x) (0，－a) － 递减 －a 0 －a，＋∞ ＋ 递增 由上表可知，函数f(x)的单调递减区间是(0，－a)； 单调递增区间是(－a，＋∞)． 22

②由g(x)＝＋x＋2aln x，

x22a得g′(x)＝－2＋2x＋，

xx由已知函数g(x)为[1,2]上的单调减函数， 则g′(x)≤0在[1,2]上恒成立， 22a即－2＋2x＋≤0在[1,2]上恒成立，

xx12

即a≤－x在[1,2]上恒成立，

x12

令h(x)＝－x，

x1?1?则h′(x)＝－2－2x＝－?2＋2x?<0，

x?x?

x∈[1,2]，

所以h(x)在[1,2]上为减函数，

h(x)min＝h(2)＝－，

7

所以a≤－. 2

72

?7?

故实数a的取值范围为?a︱a≤－?.

2??

[当 堂 达 标·固 双 基]

1．下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是( ) A．y＝sin x C．y＝x－x

xxxx3

B．y＝xe D．y＝－x＋ln x

xB [对于y＝xe，y′＝e＋xe＝e(1＋x)>0， ∴y＝xe在(0，＋∞)内为增函数．]

2．在R上可导的函数f(x)的图象如图3-3-5所示，则关于x的不等式x·f′(x)<0的解集为( )

x

图3-3-5

A．(－∞，－1)∪(0,1) B．(－1,0)∪(1，＋∞) C．(－2，－1)∪(1,2) D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)

A [当x>0时，f′(x)<0，此时00，此时x<－1，

因此xf′(x)<0的解集为(－∞，－1)∪(0,1)．] 3．函数f(x)＝(x－1)e的单调递增区间是________． (0，＋∞) [f′(x)＝(x－1)′e＋(x－1)(e)′＝xe， 令f′(x)＞0，解得x＞0，故f(x)的增区间为(0，＋∞)．]

4．若函数f(x)＝x＋x＋mx＋1是R上的单调增函数，则m的取值范围是________．

3

2

xxxx?1，＋∞? [∵f′(x)＝3x2＋2x＋m，由题意知f(x)在R上单调递增，

?3???

1∴Δ＝4－12m≤0，∴m≥.] 3

e

5．设f(x)＝2，其中a为正实数．若f(x)为R上的单调函数，求a的取值范围.

1＋ax【导学号：97792149】

1＋ax－2ax[解] 对f(x)求导得f′(x)＝e22，

＋axx2

x若f(x)为R上的单调函数，

则f′(x)在R上不变号，结合a＞0，知ax－2ax＋1≥0在R上恒成立， 因此Δ＝4a－4a＝4a(a－1)≤0， 由此并结合a＞0，知0＜a≤1. 即a的取值范围为(0,1]．

2

2