插值与拟合

大多数数学建模问题都是从实际工程或生活中提炼出来的，往往带有大量的离散的实验观测数据，要对这类问题进行建模求解，就必须对这些数据进行处理。其目的是为了从大量的数据中寻找它们反映出来的规律。用数学语言来讲，就是要找出与这些数据相应的变量之间的近似关系。对于非确定性关系，一般用统计分析的方法来研究，如回归分析的方法。对于确定性的关系，即变量间的函数关系，一般可用数据插值与拟合的方法来研究。

插值与拟合就是要通过已知的数据去确定某一类已知函数的参数或寻找某个近似函数，使所得到的近似函数对已知数据有较高的拟合进度。如果要求这个近似函数经过所有已知的数据点，则称此类问题为插值问题。当所给的数据较多时，用插值方法所得到的插值函数会很复杂，所以，通常插值方法用于数据较少的情况。其实，通常情况下数据都是由观测或试验得到的，往往会带有一定的随机误差，因而，要求近似函数通过 所有的数据点也是没有必要的。如果不要求近似函数通过所有的数据点，而是要求他能较好地反映数据的整体变化趋势，则解决这类问题的方法称为数据拟合。虽然插值与拟合都是要构造已有数据的近似函数，但因对近似要求的准则不同，因此二者在数学方法上有很大的差异。

一、引例

简单地讲，插值是对于给定的n组离散数据，寻找一个函数，使该函数的图象能严格通过这些数据对应的点。拟合并不要求函数图象通过这些点，但要求在某种准则下，该函数在这些点处的函数值与给定的这些值能最接近。

例1：对于下面给定的4组数据，求在x?110处y的值。

x y 100 10 121 11 144 12 169 13 这就是一个插值问题。我们可以先确定插值函数，再利用所得的函数来求x?110处y的近似值。需要说明的是这4组数据事实上已经反映出x与y的函数关系为：y?x，当

数据量较大时，这种函数关系是不明显的。也就是说，插值方法在处理数据时，不论数据本身对应的被插值函数y?f(x)是否已知，它都要找到一个通过这些点的插值函数，此函数是被插值函数的一个近似，从而通过插值函数来计算被插值函数在未知点处的近似值。对于所构造的插值函数要求相对简单，便于计算，一般选用多项式函数来逼近。

例2：观测物体的直线运动，得以下数据，求物体的运动方程。

t（秒） s（米） 0 0 0.9 10 1.9 30 3.0 50 3.9 80 5.0 110 这是一个拟合问题，其明显的特征是与数据对应的函数未知，要找到一个函数来比较准

确地表述这些数据蕴藏的规律。显然，我们找出的函数不一定会通过这些点，也没有必要，因为观测数据本身并不是完全准确的。

二、理论基础: 数据插值与拟合

1.插值问题的提出

插值问题的一般提法：

已知n?1个节点(xj,yj)(j?0,1,?n)，其中xj(j?1,2,?,n)互不相同，要求构造一个函数y?f(x)使得yj?f(xj)(j?0,1,?n)。我们通常称这样一类问题为插值问题，并称构造的函数y?f(x)为插值函数，xj(j?1,2,?,n)为插值节点，

yj?f(xj)(j?0,1,?n)为插值条件。

2.插值问题的原理与方法

以一维多项式插值方法为例。一般地，对于给定的n+1组数据(xi,yi)(i?0,1,2,?,n)，确定一个n次多项式Pn(x)，使Pn(xi)?yi(i?0,1,2,?,n)。xi(i?0,1,2,?,n)互不相等，

其中Pn(x)称为插值函数，(xi,yi)为插值节点，[a,b](a?minxi,b?maxxi)为插值

0?i?n0?i?n区间，Pn(xi)?yi(i?0,1,2,?,n)为插值条件。

当n?1时为线性插值。P1(x)表示过两点(x0,y0)、(x1,y1)的直线方程，即

P1(x)?y0?稍加整理，即得

y1?y0(x?x0)，

x1?x0P1(x)?记 l0(x)?x?x0x?x1y0?y1 。

x0?x1x1?x0x?x0x?x1，l1(x)?，

x0?x1x1?x0则它们满足：

?0i?jli(xj)??(i,j?0,1)。

?1i?j称li(x)为基函数，那么P1(x)是两个基函数的线性组合。

当n?2时为抛物插值。P2(x)表示过三点(x0,y0)、(x1,y1)、(x2,y2)的抛物线方程，仿照线性插值的情形取基函数l0(x)?(x?x0)(x?x2)(x?x1)(x?x2)，l1(x)?，

(x0?x1)(x0?x2)(x1?x0)(x1?x2)

l2(x)?(x?x1)(x?x0)，使它们满足

(x2?x1)(x2?x0)?0i?jli(xj)??(i,j?0,1,2)，

?1i?j则P2(x)可表示为三个基函数的线性组合，即

P2(x)?l0(x)y0?l1(x)y1?l2(x)y2。

下面针对一般情况给出一个结论：

定理：满足插值条件Pn(xi)?yi(i?0,1,2,?,n)的次数不超过n的插值多项式是存在且唯一的。（其证明过程只需用到线性方程组解的克来姆法则和范德蒙行列式的性质，这里不再赘述。）

由上述结论可知，满足插值条件的P2(x)即为所求。不失一般性，满足插值条件的n次多项式为：

Pn(x)??li(x)yi，

i?0n其中基函数li(x)?j?i,j?0n?(x?xinj)(i?0,1,2,?,n)。

j?i,j?0?(x?xj)说明：

1、多项式插值的基函数仅与节点有关，而与被插值的原函数y?f(x)无关； 2、插值多项式仅由数对(xi,yi)(i?0,1,2,?,n)确定，而与数对的排列次序无关； 3、上述多项式插值又称为拉格朗日插值，多项式插值除上述方法外，还有牛顿（newton）插值法和埃尔米特（hermite）插值法等，可参看有关数值分析的书籍。

◆多项式插值

从理论和计算的角度看，多项式是最简单的函数，设f(x)是n次多项式，记作

Ln(x)?anxn?an?1xn?1???a1x?a0 （1）

对于节点(xj,yj)应有

Ln(xj)?yj,j?0,1,2,?,n （2）

为了确定插值多项式Ln(x)中的系数an,an?1,?,a1,a0，将（1）代入（2），有