高中数学人教版选修2-1 2.2.2椭圆的简单几何性质 教案(系列二) 下载本文

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2.2.2椭圆的简单几何性质(一)

教学目标: 椭圆的范围、对称性、对称中心、离心率及顶点(截距). 重点难点分析

教学重点:椭圆的简单几何性质. 教学难点:椭圆的简单几何性质. 教学设计: 【复习引入】

1. 椭圆的定义是什么? 2. 椭圆的标准方程是什么? 【讲授新课】

利用椭圆的标准方程研究椭圆的几何性质.以焦点在x轴上椭圆为例

x2y2?2?1(a>b>0). 2ab1.范围

x2y2椭圆上点的坐标(x, y)都适合不等式2?1,2?1,即x2≤a2,y2≤b2,∴|x|≤a,|y|≤b.

ab椭圆位于直线x=±a和y=±b围成的矩形里. 2.对称性

在椭圆的标准方程里,把x换成-x,或 把y换成-y,或把x、y同时换成-x、-y时, 方程有变化吗?这说明什么?

椭圆关于y轴、x轴、原点都是对称的. 坐标轴是椭圆的对称轴. 原点是椭圆的对称中心. 椭圆的对称中心叫做椭圆的中心. 3.顶点

只须令x=0,得y=±b,点B1(0,-b)、B2(0, b)是椭圆和y轴的两个交点;令y=0, 得x=±a,点A1(-a,0)、A2(a,0)是椭圆和x轴的两个交点.椭圆有四个顶点:A1(-a, 0)、 A2(a, 0)、B1(0, -b)、B2(0, b).椭圆和它的对称轴的四个交点叫椭圆的顶点. ybB2A1-aF1O-bB1F2A2axy珍贵文档

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线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴. 长轴的长等于2a. 短轴的长等于2b.a叫做椭圆的 长半轴长.b叫做椭圆的短半轴长. |B1F1|=|B1F2|=|B2F1|=|B2F2|=a. 在Rt△OB2F2中,|OF2|2=|B2F2|2-|OB2|2, 即c2=a2-b2. 小 结 :

由椭圆的范围、对称性和顶点,再进行描点画图,只须描出较少的点,就可以得到较 正确的图形. 4.离心率

椭圆的焦距与长轴长的比e?c,叫做椭圆的离心率.∵a>c>0,∴0<e<1. ay(1)当e越接近1时,c越接近a,从而b?a2?c2越小,因此椭圆越扁;(2)当e越接近0时,c越接近0,从而b越接近a,

因此椭圆越接近于圆;

Ox(3)当且仅当a?b时,c?0,两焦点重合,图形变为圆,方程成为 x2?y2?a2.

练习 教科书P.41练习第5题.

例1 求椭圆16x2+25y2=400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标,并用 描点法画出它的图形.

x2y2解:把已知方程化成标准方程2?2?1,这里a=5,b=4,所以c?25?16?3.

54椭圆的长轴和短轴的长分别是2a=10和2b=8,离心率e?c. a焦点为F1(-3, 0)、F2(3, 0),顶点是A1(?5,0)、A2(5,0),B1(0,?4)、B2(0,4).

x2y2把已知方程化成标准方程2?2?1,

54在0?x?5的范围内算出几个点的坐标(x,y):

A1yB2F2A2F1OB1x珍贵文档

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x y 0 4 1 3.9 2 3.7 3 3.2 4 2.4 5 0 先描点画出椭圆的一部分,再利用椭圆的对称性质画出整个椭圆. 椭圆的简单作法:

(1) 以椭圆的长轴、短轴为邻边画矩形; (2) 由矩形四边的中点确定椭圆的四个顶点; (3) 用曲线将四个顶点连成一个椭圆.

例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程:

(1) 经过点P(-3, 0)、Q(0,- 2); (2)长轴的长等于20,离心率等于3. 5解:(1)由椭圆的几何性质可知,以坐标轴为对称轴的椭圆与坐标轴的交点就是椭圆的顶点. 即P、Q分别是椭圆长轴和短轴的一个端点. 于是得a=3,b=2.

x2y2又因为长轴在x轴上,所以椭圆的标准方程是??1.

94 (2) 由已知,2a=20 ,e?c3?,∴a=10 ,c=6. ∴b2=102-62=64. a5∵椭圆的焦点可能在x轴上,也可能在y轴上, x2y2∴所求椭圆的标准方程为??1或10064y2x2??1. 10064练习 求经过点P (4, 1),且长轴长是短轴长的2倍的椭圆的标准方程.

x2y2解:若焦点在x轴上,设椭圆方程为:2?2?1(a?b?0),

ab?a?2b?a?25?依题意有?16 得 得:1???1?b?5??a2b2x2y2??1. 故椭圆方程为205若焦点在y轴上, 同理求得椭圆方程为:珍贵文档