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第四章 曲线运动 万有引力与航天冲刺训练
(一)曲线运动中的一个难点——双临界问题(细化题型)
平抛运动和圆周运动是两种典型的曲线运动模型，均是高考的重点，两者巧妙地结合对学生的推理能力提出更高要求，成为高考的难点。双临界问题能有效地考查学生的分析能力和创新能力，从而成为高考
命题的重要素材。下面分三类情况进行分析。
平抛运动中的双临界问题一，全凭刀削片飞快地削距离为0.8 的面片能落
[典例1] (多选)(2017·济宁联考)刀削面是西北人喜欢的面食之得名。如图所示，将一锅水烧开，拿一块面团放在锅旁边较高处，用刀下一片片很薄的面片儿，面片便水平飞向锅里，若面团到锅上沿的竖直m，面团离锅上沿最近的水平距离为0.4 m，锅的直径为0.4 m。若削出入锅中，则面片的水平初速度可能是(g＝10 m/s)( )
A．0.8 m/s B．1.2 m/s C．1.8 m/s D．3.0 m/s
2
[解析] 水平飞出的面片发生的运动可看成平抛运动，根据平抛运动规律，水平方向：x＝v0t ①，1
竖直方向：y＝gt2 ②，其中水平位移大小的范围是0.4 m≤x≤0.8 m，联立①②代入数据解得1 m/s≤v0≤2
2m/s，故B、C项正确。
[答案] BC [方法规律]
解决平抛运动中双临界问题的一般思路
(1)从题意中提取出重要的临界条件，如“恰好”“不大于”等关键词，准确理解其含义；
(2)作出草图，确定物体的临界位置，标注速度、高度、位移等临界值；
(3)在图中画出临界轨迹，运用平抛运动的规律进行解答。
[集训冲关]
1．(2017·济南模拟)套圈游戏是一项很受欢迎的群众运动，要求每次从同一位置水平抛出圆环，套住与圆环前端水平距离为3 m的20 cm高的竖直细杆，即为获胜。一身高1.7 m的人从距地面1 m高度水
平抛出圆环，圆环半径为8 cm，要想套住细杆，他水平抛出圆环的速度可能为(g取10 m/s)( )
12
解析：选B 根据h1－h2＝gt得，t＝
2抛运动的最大速度v1＝
D．8.6 m/s A．7.4 m/s B．7.8 m/s C．8.2 m/s －g
＝－10
s＝0.4 s。则圆环做平
2
x＋d3＋0.16x3
＝ m/s＝7.9 m/s，最小速度v2＝＝ m/s＝7.5 m/s，则7.5 t0.4t0.4
m/s 2.(2017·安徽师大附中检测)如图，窗子上、下沿间的高度H＝厚度d＝0.4 m，某人在离墙壁距离L＝1.4 m、距窗子上沿h＝0.2 m处最新教育教学资料精选 1.6 m，墙的 最新教育教学资料精选 2 的P点，将可视为质点的小物件以速度v水平抛出，小物件直接穿过窗口并落在水平地面上，取g＝10 m/s。 D．2.3 m/s≤ v≤3 m/s 则v的取值范围是( ) A．v>7 m/s B．v<2.3 m/s C．3 m/s≤v≤7 m/s 12 解析：选C 小物件做平抛运动，恰好擦着窗子上沿右侧穿过时v最大。此时有L＝vmaxt，h＝gt，代 212 入解得vmax＝7 m/s，恰好擦着窗口下沿左侧穿过时速度v最小，则有L＋d＝vmint，H＋h＝gt′，解得vmin 2 ＝3 m/s，故v的取值范围是3 m/s≤v≤7 m/s，C正确。 3.一阶 梯如图所示，其中每级台阶的高度和宽度都是0.4 m，一小球以水平速度 10 m/s，欲打在第四级台阶上，则v的取值范围是( ) m/s 2 v飞出，g取 A. 6 B．22 C.2 m/s 8d＝ g 8×0.4 10 12 解析：选A 若小球打在第四级台阶的边缘上，高度h＝4d，根据h＝gt1，得t1＝ 2 x11.6 s＝0.32 s，水平位移x1＝4d，则平抛的最大速度v1＝＝ m/s＝2 2 m/s；若小球打在第三级台 t10.3212 阶的边缘上，高度h＝3d，根据h＝gt2，得t2＝ 2 6d ＝0.24 s，水平位移x2＝3d，则平抛运动的最小g x21.2 速度v2＝＝ m/s＝6 m/s，所以速度范围：6 m/s t20.24 4．(2017·湛江质检)如图所示，一网球运动员将球在边界处正上方水平向右击出，球刚好过网落在图 中位置(不计空气阻力)，数据如图所示，则下列说法中正确的是( ) A．击球点高度h1与球网高度h2之间的关系为h1＝2h2 s B．若保持击球高度不变，只要球的初速度v0不大于2gh1，球就一定落在对方界内 h1C．任意降低击球高度(仍大于h2)，只要击球初速度合适，球就一定能落在对方界内 D．任意增加击球高度，只要击球初速度合适，球一定能落在对方界内 解析：选D 不计空气阻力，网球做平抛运动。网球由h1高度被水平击出，刚好越过球网，落在另一12312 侧的中点。由h1＝gt1，s＝v0t1及h1－h2＝gt2，s＝v0t2得h1＝1.8h2，A错误；要使球落在对方界内，h1 22212ss ＝gt3，x＝v0t3＜2s，得v0＜2gh1，当v0＝2gh1时，球刚好落在界线上，B错误；击球高度为某一2h1h1最新教育教学资料精选 最新教育教学资料精选 12,142 值hL时，若球刚好过网并落在界线上，有hL＝gtL2s＝vLtL及hL－h2＝gtL′，s＝vLtL′，解得hL＝h2， 223高度小于hL时，球击出后或者落在自己一侧(速度过小时)，或者出界(速度过大时)，C错误；击球高度大 于hL时，只要击球速度合适，球一定能落在对方界内，D正确。 5.如图墙外马路宽(1)小 所示，水平屋顶高H＝5 m，墙高h＝3.2 m，墙到房子的距离L＝3 m， 2 x＝10 m，小球从房顶水平飞出，落在墙外的马路上，g＝10 m/s。求： 球离开屋顶时的速度v0的大小范围； (2)小球落在马路上的最小速度。 解析：(1)设小球恰好落到马路的右侧边缘时，水平初速度为v01，则水平位移L＋x＝v01t1 12 竖直位移H＝gt1 2 联立解得v01＝13 m/s 设小球恰好越过墙的边缘时，水平初速度为v02，则 水平位移L＝v02t2 12 竖直位移H－h＝gt2 2联立解得v02＝5 m/s 所以小球抛出时的速度大小范围为5 m/s≤v0≤13 m/s。 (2)小球落在马路上，下落高度一定，落地时的竖直分速度一定，当小球恰好越过墙的边缘落在马路上 时，落地速度最小。竖直方向vy＝2gH2 又有vmin＝v022＋vy2， 解得vmin＝55 m/s。 答案：(1)5 m/s≤v0≤13 m/s (2)55 m/s 圆周运动中的双临界问题[典例2] (多选)如图所示，AC、BC两绳系一质量为m＝0.1 kg的小球，＝2 m，两绳的另一端分别固定于轴的A、B两处，两绳拉直时与竖直轴的夹角30°和45°。小球在水平面内做匀速圆周运动时，若两绳中始终有张力，小球可能是(g＝10 m/s)( ) A．2 rad/s B．2.5 rad/s C．3 rad/s D．4 rad/s 2 AC绳长L分别为的角速度 [解析] 当BC绳刚好拉直时(BC绳中的张力为0)，此时小球的角速度最小，则有mgtan 30°＝ mωmin2Lsin 30°，解得ωmin＝ g ，代入数据得ωmin≈2.4 rad/s；当角速度继续增大时，ACLcos 30° 绳中拉力减小，BC绳中张力增大，当AC绳中拉力为0(AC绳刚好拉直)时，小球角速度最大，则有mgtan 45°＝mωmaxLsin 30°，代入数据得ωmax≈3.16 rad/s，综上所述，B、C项正确。 最新教育教学资料精选 2 最新教育教学资料精选 [答案] BC [方法规律] 圆周运动中的常用临界条件 (1)绳子松弛，绳子张力为零； (2)绳子刚好拉断或刚好不断，绳子张力最大； (3)两接触物体在接触面上刚好脱离或不脱离，则两物体接触面间相互作用力为零； (4)物体刚好不滑动，则静摩擦力达到最大。 [集训冲关] 选)(2017·广东联考)如图所示，竖直放置的光滑圆轨道被固定在水平径r＝0.4 m，最低点处有一小球(半径比r小很多)，现给小球一水平向 度v0，要使小球不脱离圆轨道运动，v0的大小可能为(g＝10 m/s)( ) D．8 m/s 2 1.(多地面上，半右的初速 A．2 m/s B．4 m/s C．6 m/s vmin2解析：选ACD 若小球能通过最高点，则由mg＝m，可求得小球通过最高点的最小速度vmin＝gr r1122 ＝2 m/s，由机械能守恒定律，有：mg·2r＋mvmin＝mv0，解得v0＝25 m/s；若不通过四分之一圆周， 2212 根据机械能守恒定律有：mgr＝mv0，得出v0＝22 m/s，所以v0≥25 m/s或v0≤22 m/s均符合要求， 2 故A、C、D正确，B错误。 所示，竖直环A半径为r，固定在木板B上，木板B放在水平地面上，B各有一挡板固定在地上，B不能左右运动，在环的最低点静放有一小球质量均为m。现给小球一水平向右的瞬时速度v，小球会在环内侧做圆周小球能通过环的最高点，且不会使环在竖直方向上跳起(不计小球与环 2.如图的左右两侧 C，A、B、C的 运动，为保证 之间的摩擦阻力)，则瞬时速度v必须满足( ) A．最小值4gr C．最小值3gr B．最大值 6gr D．最大值7gr v02 解析：选D 要保证小球能通过环的最高点，在最高点最小速度满足mg＝m，对小球从最低点运动r1122 到最高点的过程应用机械能守恒得 mvmin＝mg·2r＋mv0，可得小球在最低点瞬时速度的最小值为5gr， 22v12 A、C错误；为了不使环在竖直方向上跳起，则在最高点球有最大速度时，对环的压力为2mg，满足3mg＝m，r1122 从最低点到最高点由机械能守恒得mvmax＝mg·2r＋mv1，可得小球在最低点瞬时速度的最大值为7gr， 22最新教育教学资料精选 最新教育教学资料精选 l 所示，半径为、质量为m的小球用两根不可伸长的轻绳a、b连接，两轻绳的另 4根竖直杆的A、B两点上，A、B两点相距为l，当两轻绳伸直后，A、B两点到球为l。当竖直杆以自己为轴转动并达到稳定时(轻绳a、b与杆在同一竖直平面 直杆角速度ω为多大时，小球恰好离开竖直杆； B错误，D正确。 3.如图一端系在一心的距离均内)。求：(1)竖 (2)轻绳a的张力Fa与竖直杆转动的角速度ω之间的关系。 解析：(1)小球恰好离开竖直杆时，小球与竖直杆间的作用力为零，设此时轻绳a与竖直杆间的夹角为 1l α，由题意可知sin α＝， r＝ 44 沿半径：Fasin α＝mωr垂直半径：Facos α＝mgg15l 。 2 联立解得ω＝2 g (2)由(1)可知0≤ω≤2 4 时，Fa＝mg；15l15 若角速度ω再增大，小球将离开竖直杆，在轻绳b恰伸直前，设轻绳a与竖直杆的夹角为β，此时小 球做圆周运动的半径为r＝lsin β 沿半径：Fasin β＝mωr垂直半径：Facos β＝mg 联立解得Fa＝mωl22 由几何关系知，当轻绳b恰伸直时，β＝60°， 解得此时ω＝ <ω≤ 15lg 2g。l2g；l 故有Fa＝mωl，此时2 2 若角速度ω再增大，轻绳b伸直后，小球做圆周运动的半径为r＝lsin 60° 沿半径：Fasin 60°＋Fbsin 60°＝mωr垂直半径：Facos 60°＝Fbcos 60°＋mg 12 联立解得Fa＝mlω＋mg， 2 答案：(1)2 此时ω> g15l 2g。l 2 (2)见解析 最新教育教学资料精选