（一） 直线的倾斜角的概念

我们知道, 经过两点有且只有(确定)一条直线. 那么, 经过一点P的直线l的位置能确定吗? 如图, 过一点P可以作无数多条直线a,b,c, …易见,答案是否定的.这些直线有什么联系呢?

YabcOPX

(1)它们都经过点P. (2)它们的‘倾斜程度’不同. 怎样描述这种‘倾斜程度’的不同? 引入直线的倾斜角的概念:

当直线l和x轴相交时, 取x轴作为基准, x轴正向和直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.特别地,当直线l和x轴平行或重合时, 规定α= 0°. ．．．问: 倾斜角α的取值范围是什么? 0°≤α＜180°.

当直线l和x轴垂直时, α= 90°.

因为平面直角坐标系内的每一条直线都有确定的倾斜程度, 引入直线的倾斜角之后, 我们就可以用倾斜角α来表示平面直角坐标系内的每一条直线的倾斜程度.

YaObXc如图, 直线a∥b∥c, 那么它们

的倾斜角α相等吗? 答案是肯定的.所以一个倾斜角α不能确定一条直线. 确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素: 一个点和一个倾斜角α．．．P．．．．．．．．. (二)直线的斜率:

一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,也就是

k = tanα

⑴当直线l和x轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0;

⑵当直线l和x轴垂直时, α= 90°, k 不存在.

由此可知, 一条直线l的倾斜角α一定存在,但是斜率k不一定存在. 例如, α=45°时, k = tan45°= 1;

α=135°时, k = tan135°= tan(180°－ 45°) = - tan45°= - 1. 学习了斜率之后, 我们又可以用斜率来表示直线的倾斜程度. (三) 直线的斜率公式:

给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,如何用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率? 可用计算机作动画演示: 直线P1P2的四种情况, 并引导学生如何作辅助线, 共同完成斜率公式的推导.(略)

斜率公式:

对于上面的斜率公式要注意下面四点：

(1) 当x1=x2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角α= 90°, 直线和x轴垂直； (2)k和P1、P2的顺序无关, 即y1,y2和x1,x2在公式中的前后次序可以同时交换, 但分子和分母不能交换;

(3)斜率k可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得;

(4) 当 y1=y2时, 斜率k = 0, 直线的倾斜角α=0°，直线和x轴平行或重合. (5)求直线的倾斜角可以由直线上两点的坐标先求斜率而得到．

(四)例题:

例1 已知A(3, 2), B(-4, 1), C(0, -1), 求直线AB, BC, CA的斜率, 并判断它们的倾斜角是钝角还是锐角.(用计算机作直线, 图略)

分析: 已知两点坐标, 而且x1≠x2, 由斜率公式代入即可求得k的值; 而当k = tanα<0时, 倾斜角α是钝角; 而当k = tanα>0时, 倾斜角α是锐角; 而当k = tanα=0时, 倾斜角α是0°.

略解: 直线AB的斜率k1=1/7>0, 所以它的倾斜角α是锐角; 直线BC的斜率k2=-0.5<0, 所以它的倾斜角α是钝角; 直线CA的斜率k3=1>0, 所以它的倾斜角α是锐角.

例2 在平面直角坐标系中, 画出经过原点且斜率分别为1, -1, 2, 及-3的直线a, b, c, l.

分析:要画出经过原点的直线a, 只要再找出a上的另外一点M. 而M的坐标可以根据直线a的斜率确定; 或者k=tanα=1是特殊值,所以也可以以原点为角的顶点,x 轴的正半轴为角的一边, 在x 轴的上方作45°的角, 再把所作的这一边反向延长成直线即可.

略解: 设直线a上的另外一点M的坐标为(x,y),根据斜率公式有 1=(y－0)／(x－0) 所以 x = y

可令x = 1, 则y = 1, 于是点M的坐标为(1,1).此时过原点和点

M(1,1), 可作直线a.

同理, 可作直线b, c, l.(用计算机作动画演示画直线过程)

(五)练习: P91 1. 2. 3. 4. (六)小结:

(1)直线的倾斜角和斜率的概念． (2) 直线的斜率公式.

(七)课后作业: P94 习题3.1 1. 3. (八)板书设计:

教学目标 §3.1.1…… (一)知识教学 1．直线倾斜角的概念 3.例1…… 练习1 练习3 理解并掌握两条直线平行和垂直的条件，会运用条件判定两直线是否平行或垂直. 2. 直线的斜率 (二) 能力训练 4.例2…… 练习2 练习4 通过探究两直线平行或垂直的条件，, 以及数形结 培养学生运用已有知识解决新问题的能力 合能力． (三)学科渗透 通过对两直线平行和垂直的位置关系的研究，培养学生的成功意识，合作交流的学习方式,激发学生的学习兴趣．

重点：两条直线平行和垂直的条件是重点，要求学生能熟练掌握，并灵活运用．

难点：启发学生, 把研究两条直线的平行或垂直问题, 转化为研究两条直线的斜率的关系问题．

注意：对于两条直线中有一条直线斜率不存在的情况, 在课堂上老师应提醒学生注意解决好这个问题． 教学过程

(一)先研究特殊情况下的两条直线平行和垂直

上一节课, 我们已经学习了直线的倾斜角和斜率的概念, 而且知道,可以用倾斜角和斜率来表示直线相对于x轴的倾斜程度, 并推导出了斜率的坐标计算公式. 现在, 我们来研究能否通过两条直线的斜率来判断两条直线的平行或垂直．

讨论: 两条直线中有一条直线没有斜率, (1)当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为90°，它们互相平行；(2)当另一条直线的斜率为0时，一条直线的倾斜角为90°，另一条直线的倾斜角为0°，两直线互相垂直．

(二)两条直线的斜率都存在时, 两直线的平行和垂直

设直线 L1和L2的斜率分别为k1和k2. 我们知道, 两条直线的平行或垂直是由两条直线的方向决定的, 而两条直线的方向又是由直线的倾斜角或斜率决定的. 所以我们下面要研究的问题是: 两条互相平行或垂直的直线, 它们的斜率有什么关系?

首先研究两条直线互相平行(不重合)的情形．如果L1∥L2(图1-29)，那么它们的倾斜角相等：α1=α2．(借助计算机, 让学生通过度量, 感知α1, α2的关系) ∴tgα1=tgα2． 即 k1=k2．

3.1.2两条直线的平行和垂直()

反过来，如果两条直线的斜率相等: 即k1=k2，那么tgα1=tgα2． 由于0°≤α1＜180°， 0°≤α＜180°， ∴α1=α2．

又∵两条直线不重合， ∴L1∥L2．

结论: 两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即

注意: 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论．．．．．．．．并不成立．即如果k1=k2, 那么一定有L1∥L2; 反之则不一定. 下面我们研究两条直线垂直的情形．

如果L1⊥L2，这时α1≠α2，否则两直线平行．

设α2＜α1(图1-30)，甲图的特征是L1和L2的交点在x轴上方；乙图的特征是L1和L2的交点在x轴下方；丙图的特征是L1和L2的交点在x轴上，无论哪种情况下都有 α1=90°+α2．

因为L1、L2的斜率分别是k1、k2，即α1≠90°，所以α2≠0°．

，

可以推出 : α1=90°+α2． L1⊥L2． 结论: 两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它．．．．．．．．们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即

注意: 结论成立的条件. 即如果k1·k2 = -1, 那么一定有L1⊥L2; 反之则不一定.

(借助计算机, 让学生通过度量, 感知k1, k2的关系, 并使L1(或L2)转动起来, 但仍保持L1⊥L2, 观察k1, k2的关系, 得到猜想, 再加以验证. 转动时, 可使α1为锐角,钝角等). 例题

例1 已知A(2,3), B(-4,0), P(-3,1), Q(-1,2), 试判断直线BA和PQ的位置关系, 并证明你的结论.

分析: 借助计算机作图, 通过观察猜想:BA∥PQ, 再通过计算加以验证.(图略) 解: 直线BA的斜率k1=(3-0)/(2-(-4))=0.5,

直线PQ的斜率k2=(2-1)/(-1-(-3))=0.5, 因为 k1=k2=0.5, 所以 直线BA∥PQ.

例2 已知四边形ABCD的四个顶点分别为A(0,0), B(2,-1), C(4,2), D(2,3), 试判断四边形ABCD的形状,并给出证明. (借助计算机作图, 通过观察猜想: 四边形ABCD是平行四边形,再通过计算加以验证) 解同上.

例3 已知A(-6,0), B(3,6), P(0,3), Q(-2,6), 试判断直线AB和PQ的位置关系.

解: 直线AB的斜率k1= (6-0)/(3-(-6))=2/3, 直线PQ的斜率k2= (6-3)(-2-0)=-3/2, 因为 k1·k2 = -1 所以 AB⊥PQ.

例4 已知A(5,-1), B(1,1), C(2,3), 试判断三角形ABC的形状.

分析: 借助计算机作图, 通过观察猜想: 三角形ABC是直角三角形, 其中AB⊥BC, 再

通过计算加以验证.(图略) 课堂练习

P94 练习 1. 2. 课后小结

(1)两条直线平行或垂直的真实等价条件；(2)使用条件, 判定两条直线平行或垂直. (3) 使用直线平行的条件, 判定三点共线. 布置作业

P94 习题3.1 5. 8. 板书设计